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Theorem knoppcnlem4 31656
 Description: Lemma for knoppcn 31664. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem4.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppcnlem4.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem4.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41, 2, 3knoppcnlem1 31653 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
54fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6 knoppcnlem4.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87, 3expcld 12870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
9 knoppcnlem4.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12 knoppcnlem4.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 nnre 10904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1615, 3reexpcld 12887 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
1716, 2remulcld 9949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
189, 17dnicld2 31633 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
208, 19absmuld 14041 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
217, 3absexpd 14039 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
2221oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2320, 22eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2419abscld 14023 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25 1red 9934 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
267abscld 14023 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2726, 3reexpcld 12887 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
287absge0d 14031 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
2926, 3, 28expge0d 12888 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
309dnival 31631 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3117, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3231fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33 halfre 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3517, 34readdcld 9948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36 reflcl 12459 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3837, 17resubcld 10337 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
3938recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40 absidm 13911 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4232, 41eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4331, 18eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44 rddif 13928 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
4517, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46 halflt1 11127 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
47 1re 9918 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4833, 47ltlei 10038 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
5143, 34, 25, 45, 50letrd 10073 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5242, 51eqbrtrd 4605 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5324, 25, 27, 29, 52lemul2ad 10843 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54 ax-1rid 9885 . . . . . 6 (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5527, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5653, 55breqtrd 4609 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5723, 56eqbrtrd 4605 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58 eqidd 2611 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6059adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6158, 60, 3, 27fvmptd 6197 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6261eqcomd 2616 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
6357, 62breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
645, 63eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  31658
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