bddiblnc - Mathbox for Brendan Leahy

	Mathbox for Brendan Leahy		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > bddiblnc		Structured version Visualization version GIF version

Theorem bddiblnc 32650

Description: Choice-free proof of bddibl 23412. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
bddiblnc	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Distinct variable group: 𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddiblnc Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbff 23200	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6159	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
3	2	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
4		rzal 4025	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0)
5		mpteq12 4664	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
6	4, 5	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
7		fconstmpt 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0)
8		0mbl 23114	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
9		ibl0 23359	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹
11	7, 10	eqeltrri 2685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0) ∈ 𝐿¹
12	6, 11	syl6eqel 2696	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 = ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
14		r19.2z 4012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
15	14	anim1i 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
16	15	an31s 844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
17	1	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
18	17	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19	18	absge0d 14031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))
20		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ∈ ℝ)
21	18	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
22		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
23		letr 10010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
25	19, 24	mpand 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
26	25	rexlimdva 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
27	26	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥)))
28	27	com23 84	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝑥)))
29	28	imp32 448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝑥)
30	16, 29	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅)) → 0 ≤ 𝑥)
31	30	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑥)
32		an32 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
33		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ MblFn)
34	2, 33	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	34	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
36	1	ad3antrrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
37	36	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
38	37	recld 13782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
40	39	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
41		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
42		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
43	40, 41, 42	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
44		0e0iccpnf 12154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
46	43, 45	ifclda 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
47		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
48	46, 47	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
49		mbfdm 23201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
50	49	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
51		simplr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
52		elrege0 12149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
53	52	biimpri 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
54	53	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
55		itg2const 23313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
56	50, 51, 54, 55	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
57		simprll 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
58	57, 51	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)) ∈ ℝ)
59	56, 58	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ)
60		rexr 9964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
61		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥))
62	61	biimpri 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
63	60, 62	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
64	63	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
66		ifcl 4080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
67	65, 44, 66	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
68		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
69	67, 68	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
70		ifan 4084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
71	1	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
72	71	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
73	72	recld 13782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
74	72	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
75	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
76	72	releabsd 14038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
77		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧))
78	77	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
79	78	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥))
80	79	rspccva 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
81	80	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
82	81	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
83	73, 74, 75, 76, 82	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
84		simprlr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
86		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
87		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
88	86, 87	ifboth 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
89	83, 85, 88	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
90		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
91	90	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
92		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
94	89, 91, 93	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
95	94	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
96		0le0 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 0
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → 0 ≤ 0)
98		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
99		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 0)
100	97, 98, 99	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
101	95, 100	pm2.61d1 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
102	70, 101	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
103	102	ralrimivw 2950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
104		reex 9906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
106		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
107		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
108	105, 46, 67, 106, 107	ofrfval2 6813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
109	103, 108	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
110		itg2le 23312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
111	48, 69, 109, 110	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
112		itg2lecl 23311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
113	48, 59, 111, 112	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
114	38	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
115	114	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
116	115	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
117		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
118		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
119	116, 117, 118	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
120	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
121	119, 120	ifclda 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
122		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
123	121, 122	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
124		ifan 4084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
125	73	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
126	73	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
127	126	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
128	125	leabsd 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
129	126	absnegd 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
130	128, 129	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
131		absrele 13896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
132	72, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
133	125, 127, 74, 130, 132	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
134	125, 74, 75, 133, 82	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
135		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
136		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
137	135, 136	ifboth 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
138	134, 85, 137	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
139		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
140	139	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
141	138, 140, 93	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
142	141	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
143		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
144	97, 143, 99	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
145	142, 144	pm2.61d1 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
146	124, 145	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
147	146	ralrimivw 2950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
148		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
149	105, 121, 67, 148, 107	ofrfval2 6813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
150	147, 149	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
151		itg2le 23312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
152	123, 69, 150, 151	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
153		itg2lecl 23311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
154	123, 59, 152, 153	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
155	113, 154	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
156	37	imcld 13783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
157	156	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
158	157	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
159		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
160		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
161	158, 159, 160	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
162	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
163	161, 162	ifclda 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
164		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
165	163, 164	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
166		ifan 4084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
167	72	imcld 13783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
168	167	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
169	168	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
170	167	leabsd 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
171		absimle 13897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
172	72, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
173	167, 169, 74, 170, 172	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
174	167, 74, 75, 173, 82	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
175		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
176		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
177	175, 176	ifboth 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
178	174, 85, 177	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
179		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
180	179	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
181	178, 180, 93	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
182	181	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
183		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
184	97, 183, 99	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
185	182, 184	pm2.61d1 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
186	166, 185	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
187	186	ralrimivw 2950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
188		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
189	105, 163, 67, 188, 107	ofrfval2 6813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
190	187, 189	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
191		itg2le 23312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
192	165, 69, 190, 191	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
193		itg2lecl 23311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
194	165, 59, 192, 193	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
195	156	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
196	195	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
197	196	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
198		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
199		elxrge0 12152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
200	197, 198, 199	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
201	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
202	200, 201	ifclda 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
203		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
204	202, 203	fmptd 6292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
205		ifan 4084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
206	167	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
207	206	leabsd 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
208	168	absnegd 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
209	207, 208	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
210	206, 169, 74, 209, 172	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
211	206, 74, 75, 210, 82	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
212		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
213		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
214	212, 213	ifboth 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
215	211, 85, 214	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
216		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
217	216	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
218	215, 217, 93	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
219	218	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
220		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
221	97, 220, 99	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
222	219, 221	pm2.61d1 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
223	205, 222	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
224	223	ralrimivw 2950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
225		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
226	105, 202, 67, 225, 107	ofrfval2 6813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
227	224, 226	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
228		itg2le 23312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
229	204, 69, 227, 228	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
230		itg2lecl 23311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
231	204, 59, 229, 230	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
232	194, 231	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
233		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
234		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
235		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
236		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
237	233, 234, 235, 236, 72	iblcnlem1 23360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹ ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))))
238	35, 155, 232, 237	mpbir3and 1238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
239	32, 238	sylan2b 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
240	239	anassrs 678	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
241	31, 240	syldan 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
242	13, 241	pm2.61dane 2869	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
243	242	rexlimdvaa 3014	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹))
244	243	3impia 1253	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
245	3, 244	eqeltrd 2688	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 Vcvv 3173 ∅c0 3874 ifcif 4036 {csn 4125 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 × cxp 5036 dom cdm 5038 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ∘_𝑟 cofr 6794 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 · cmul 9820 +∞cpnf 9950 ℝ^*cxr 9952 ≤ cle 9954 -cneg 10146 [,)cico 12048 [,]cicc 12049 ℜcre 13685 ℑcim 13686 abscabs 13822 volcvol 23039 MblFncmbf 23189 ∫₂citg2 23191 𝐿¹cibl 23192

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-ofr 6796 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xadd 11823 df-ioo 12050 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265 df-xmet 19560 df-met 19561 df-ovol 23040 df-vol 23041 df-mbf 23194 df-itg1 23195 df-itg2 23196 df-ibl 23197 df-0p 23243

This theorem is referenced by: cnicciblnc 32651

W3C validator