Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absimle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absimle 13897
 Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absimle (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absimle
StepHypRef Expression
1 negicn 10161 . . . . 5 -i ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -i ∈ ℂ)
3 id 22 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 9939 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
5 absrele 13896 . . 3 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
64, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))) ≤ (abs‘(-i · 𝐴)))
7 imre 13696 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) = (ℜ‘(-i · 𝐴)))
87fveq2d 6107 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℜ‘(-i · 𝐴))))
9 absmul 13882 . . . 4 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
101, 9mpan 702 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(-i · 𝐴)) = ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)))
11 ax-icn 9874 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
12 absneg 13865 . . . . . . 7 (i ∈ ℂ → (abs‘-i) = (abs‘i))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (abs‘-i) = (abs‘i)
14 absi 13874 . . . . . 6 (abs‘i) = 1
1513, 14eqtri 2632 . . . . 5 (abs‘-i) = 1
1615oveq1i 6559 . . . 4 ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
17 abscl 13866 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 9947 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
1918mulid2d 9937 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2016, 19syl5eq 2656 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘-i) · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
2110, 20eqtr2d 2645 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (abs‘(-i · 𝐴)))
226, 8, 213brtr4d 4615 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816  ici 9817   · cmul 9820   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  rlimrecl  14159  imcn2  14180  caucvgr  14254  sin01bnd  14754  recld2  22425  cnheiborlem  22561  aaliou2b  23900  efif1olem3  24094  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  efopnlem1  24202  abscxpbnd  24294  bddiblnc  32650  cntotbnd  32765  dstregt0  38434
 Copyright terms: Public domain W3C validator