MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absimle Structured version   Unicode version

Theorem absimle 12782
Description: The absolute value of a complex number is greater than or equal to the absolute value of its imaginary part. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absimle  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  <_ 
( abs `  A
) )

Proof of Theorem absimle
StepHypRef Expression
1 negicn 9599 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u _i  e.  CC )
3 id 22 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
42, 3mulcld 9394 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
5 absrele 12781 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re
`  ( -u _i  x.  A ) ) )  <_  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )  <_ 
( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
7 imre 12581 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
87fveq2d 5683 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) ) ) )
9 absmul 12767 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) ) )
101, 9mpan 663 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) ) )
11 ax-icn 9329 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
12 absneg 12750 . . . . . . 7  |-  ( _i  e.  CC  ->  ( abs `  -u _i )  =  ( abs `  _i ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u _i )  =  ( abs `  _i )
14 absi 12759 . . . . . 6  |-  ( abs `  _i )  =  1
1513, 14eqtri 2453 . . . . 5  |-  ( abs `  -u _i )  =  1
1615oveq1i 6090 . . . 4  |-  ( ( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  A ) )
17 abscl 12751 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
1817recnd 9400 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
1918mulid2d 9392 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2016, 19syl5eq 2477 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  -u _i )  x.  ( abs `  A ) )  =  ( abs `  A
) )
2110, 20eqtr2d 2466 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  =  ( abs `  ( -u _i  x.  A ) ) )
226, 8, 213brtr4d 4310 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  A ) )  <_ 
( abs `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   1c1 9271   _ici 9272    x. cmul 9275    <_ cle 9407   -ucneg 9584   Recre 12570   Imcim 12571   abscabs 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709
This theorem is referenced by:  rlimrecl  13042  imcn2  13063  caucvgr  13137  sin01bnd  13452  recld2  20233  cnheiborlem  20368  aaliou2b  21692  efif1olem3  21885  logcnlem3  21974  logcnlem4  21975  efopnlem1  21986  abscxpbnd  22076  bddiblnc  28306  cntotbnd  28539
  Copyright terms: Public domain W3C validator