Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem3 24094
 Description: Lemma for efif1o 24096. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efif1olem3 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
2 efif1o.2 . . . . . . 7 𝐶 = (abs “ {1})
31, 2syl6eleq 2698 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (abs “ {1}))
4 absf 13925 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
5 ffn 5958 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6 fniniseg 6246 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
83, 7sylib 207 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
98simpld 474 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
109sqrtcld 14024 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
1110imcld 13783 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12 absimle 13897 . . . . . 6 ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
149sqsqrtd 14026 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
1514fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
17 absexp 13892 . . . . . . . . 9 (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
1810, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
198simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
2015, 18, 193eqtr3d 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21 sq1 12820 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2220, 21syl6eqr 2662 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
2310abscld 14023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
2410absge0d 14031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 10430 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
27 sq11 12798 . . . . . . . 8 ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
2825, 26, 27mpanr12 717 . . . . . . 7 (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
2923, 24, 28syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
3022, 29mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
3113, 30breqtrd 4609 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32 absle 13903 . . . . 5 (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
3311, 25, 32sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
3431, 33mpbid 221 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
3534simpld 474 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
3634simprd 478 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37 neg1rr 11002 . . 3 -1 ∈ ℝ
3837, 25elicc2i 12110 . 2 ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1239 1 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   · cmul 9820   ≤ cle 9954  -cneg 10146  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  [,]cicc 12049  ↑cexp 12722  ℑcim 13686  √csqrt 13821  abscabs 13822  expce 14631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  efif1olem4  24095
 Copyright terms: Public domain W3C validator