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Theorem bddiblnc 28371
Description: Choice-free proof of bddibl 21217. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
bddiblnc  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L^1 )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem bddiblnc
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 21005 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
21feqmptd 5741 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  =  ( z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) ) )
323ad2ant1 1004 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  =  ( z  e.  dom  F 
|->  ( F `  z
) ) )
4 rzal 3778 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  =  (/)  ->  A. z  e.  dom  F ( F `
 z )  =  0 )
5 mpteq12 4368 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  =  (/)  /\ 
A. z  e.  dom  F ( F `  z
)  =  0 )  ->  ( z  e. 
dom  F  |->  ( F `
 z ) )  =  ( z  e.  (/)  |->  0 ) )
64, 5mpdan 663 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  (/)  ->  (
z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) )  =  ( z  e.  (/)  |->  0 ) )
7 fconstmpt 4878 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X. 
{ 0 } )  =  ( z  e.  (/)  |->  0 )
8 0mbl 20921 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
9 ibl0 21164 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( (/)  X. 
{ 0 } )  e.  L^1 )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  X. 
{ 0 } )  e.  L^1
117, 10eqeltrri 2512 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  (/)  |->  0 )  e.  L^1
126, 11syl6eqel 2529 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  (/)  ->  (
z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) )  e.  L^1 )
1312adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
) )  /\  dom  F  =  (/) )  ->  (
z  e.  dom  F  |->  ( F `  z
) )  e.  L^1 )
14 r19.2z 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  =/=  (/)  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )  ->  E. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
1514anim1i 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( dom  F  =/=  (/)  /\  A. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  x  e.  RR )
)
1615an31s 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )  /\  dom  F  =/=  (/) )  -> 
( E. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  /\  x  e.  RR ) )
171ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  F : dom  F --> CC )
1817ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( F `  y )  e.  CC )
1918absge0d 12926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
20 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  0  e.  RR )
2218abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  e.  RR )
23 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  x  e.  RR )
24 letr 9464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 y ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  ( abs `  ( F `  y ) )  /\  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )  -> 
0  <_  x )
)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( (
0  <_  ( abs `  ( F `  y
) )  /\  ( abs `  ( F `  y ) )  <_  x )  ->  0  <_  x ) )
2619, 25mpand 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ( abs `  ( F `  y ) )  <_  x  ->  0  <_  x
) )
2726rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  0  <_  x )
)
2827ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  -> 
( x  e.  RR  ->  ( E. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  0  <_  x )
) )
2928com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  -> 
( E. y  e. 
dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x  ->  ( x  e.  RR  ->  0  <_  x )
) )
3029imp32 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( E. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  x  e.  RR )
)  ->  0  <_  x )
3116, 30sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  /\  dom  F  =/=  (/) ) )  ->  0  <_  x )
3231anassrs 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
) )  /\  dom  F  =/=  (/) )  ->  0  <_  x )
33 an32 791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\ 
A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )  /\  0  <_  x )  <-> 
( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )
34 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e. MblFn  ->  F  e. MblFn )
352, 34eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e. MblFn  ->  ( z  e. 
dom  F  |->  ( F `
 z ) )  e. MblFn )
3635ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e. 
dom  F  |->  ( F `
 z ) )  e. MblFn )
371ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  F : dom  F --> CC )
3837ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  CC )
3938recld 12679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( Re `  ( F `  z )
)  e.  RR )
4039rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( Re `  ( F `  z )
)  e.  RR* )
4140adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  RR* )
42 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  <_  ( Re `  ( F `
 z ) ) )
43 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Re `  ( F `
 z ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Re
`  ( F `  z ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Re `  ( F `
 z ) ) ) )
4441, 42, 43sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
45 0e0iccpnf 11392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  -.  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4744, 46ifclda 3818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
48 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
4947, 48fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
50 mbfdm 21006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
5150ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  dom  F  e.  dom  vol )
52 simplr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( vol `  dom  F )  e.  RR )
53 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5453biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )
5554ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  x  e.  ( 0 [,) +oo )
)
56 itg2const 21118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  x  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( vol `  dom  F ) ) )
5751, 52, 55, 56syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  =  ( x  x.  ( vol `  dom  F ) ) )
58 simprll 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
5958, 52remulcld 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( x  x.  ( vol `  dom  F ) )  e.  RR )
6057, 59eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  e.  RR )
61 rexr 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
62 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6461, 63sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6564ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo )
)
6665adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo )
)
67 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6866, 45, 67sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
69 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
7068, 69fmptd 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
71 ifan 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  =  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )
721ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  F : dom  F --> CC )
7372ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
7473recld 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  RR )
7573abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  e.  RR )
7658adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  x  e.  RR )
7773releabsd 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
78 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
7978fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  z  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
8079breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  z  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
) )
8180rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
8281adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  x )
8382adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  x
)
8474, 75, 76, 77, 83letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  <_  x
)
85 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  0  <_  x
)
8685adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  0  <_  x )
87 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  ( F `
 z ) )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
( Re `  ( F `  z )
)  <_  x  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( F `  z
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
88 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  x  <->  if (
0  <_  ( Re `  ( F `  z
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
8987, 88ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Re `  ( F `  z )
)  <_  x  /\  0  <_  x )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re `  ( F `  z )
) ,  0 )  <_  x )
9084, 86, 89syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
0  <_  ( Re `  ( F `  z
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x )
91 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( F `  z
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) )
9291adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Re `  ( F `  z
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) )
93 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 )  =  x )
9493adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 )  =  x )
9590, 92, 943brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
9695ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e. 
dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( F `  z )
) ,  ( Re
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
97 0le0 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  0
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  0  <_  0 )
99 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
100 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  x ,  0 )  =  0 )
10198, 99, 1003brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
10296, 101pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ,  ( Re `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
10371, 102syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
104103ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
105 reex 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  RR  e.  _V )
107 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )
108 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
109106, 47, 68, 107, 108ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
110104, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
111 itg2le 21117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
11249, 70, 110, 111syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
113 itg2lecl 21116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11449, 60, 112, 113syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11539renegcld 9771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re `  ( F `  z )
)  e.  RR )
116115rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re `  ( F `  z )
)  e.  RR* )
117116adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  e. 
RR* )
118 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  <_  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) )
119 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( Re `  ( F `
 z ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u (
Re `  ( F `  z ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ) )
120117, 118, 119sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12145a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  -.  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
122120, 121ifclda 3818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
124122, 123fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
125 ifan 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  =  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )
12674renegcld 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  e.  RR )
12774recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Re `  ( F `  z
) )  e.  CC )
128127abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  z )
) )  e.  RR )
129126leabsd 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) )
130127absnegd 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  -u ( Re `  ( F `  z )
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  z ) ) ) )
131129, 130breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  (
Re `  ( F `  z ) ) ) )
132 absrele 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  z ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
13373, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  z )
) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
134126, 128, 75, 131, 133letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  z )
) )
135126, 75, 76, 134, 83letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Re
`  ( F `  z ) )  <_  x )
136 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( Re `  ( F `
 z ) )  =  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  ( -u ( Re `  ( F `  z )
)  <_  x  <->  if (
0  <_  -u ( Re
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
137 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  x  <->  if (
0  <_  -u ( Re
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
138136, 137ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u ( Re `  ( F `  z ) )  <_  x  /\  0  <_  x )  ->  if ( 0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x )
139135, 86, 138syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
0  <_  -u ( Re
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x )
140 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
141140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z )
) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Re
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
142139, 141, 943brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z )
) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
143142ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e. 
dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Re `  ( F `  z )
) ,  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
144 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
14598, 144, 1003brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
146143, 145pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
147125, 146syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
148147ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
149 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )
150106, 122, 68, 149, 108ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
151148, 150mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
152 itg2le 21117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
153124, 70, 151, 152syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
154 itg2lecl 21116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
155124, 60, 153, 154syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
156114, 155jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Re `  ( F `  z )
) ) ,  ( Re `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Re `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Re `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
15738imcld 12680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( Im `  ( F `  z )
)  e.  RR )
158157rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( Im `  ( F `  z )
)  e.  RR* )
159158adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  RR* )
160 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  <_  ( Im `  ( F `
 z ) ) )
161 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( Im
`  ( F `  z ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( Im `  ( F `
 z ) ) ) )
162159, 160, 161sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
16345a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  -.  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
164162, 163ifclda 3818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
165 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
166164, 165fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
167 ifan 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  =  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )
16873imcld 12680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  RR )
169168recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  e.  CC )
170169abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  z )
) )  e.  RR )
171168leabsd 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( Im `  ( F `  z ) ) ) )
172 absimle 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  z )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  z ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
17373, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  z )
) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
174168, 170, 75, 171, 173letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  z ) ) )
175168, 75, 76, 174, 83letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( Im `  ( F `  z
) )  <_  x
)
176 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Im `  ( F `
 z ) )  =  if ( 0  <_  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
( Im `  ( F `  z )
)  <_  x  <->  if (
0  <_  ( Im `  ( F `  z
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
177 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  x  <->  if (
0  <_  ( Im `  ( F `  z
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
178176, 177ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Im `  ( F `  z )
)  <_  x  /\  0  <_  x )  ->  if ( 0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) ,  0 )  <_  x )
179175, 86, 178syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
0  <_  ( Im `  ( F `  z
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  x )
180 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  ( F `  z
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) )
181180adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Im `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  ( Im `  ( F `  z
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) )
182179, 181, 943brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Im `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
183182ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e. 
dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_ 
( Im `  ( F `  z )
) ,  ( Im
`  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
184 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
18598, 184, 1003brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
186183, 185pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ,  ( Im `  ( F `  z )
) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
187167, 186syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
188187ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
189 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )
190106, 164, 68, 189, 108ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
191188, 190mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
192 itg2le 21117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
193166, 70, 191, 192syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )
194 itg2lecl 21116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
195166, 60, 193, 194syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( S.2 `  (
z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_  ( Im `  ( F `  z )
) ) ,  ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
196157renegcld 9771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im `  ( F `  z )
)  e.  RR )
197196rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im `  ( F `  z )
)  e.  RR* )
198197adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  e. 
RR* )
199 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  <_  -u ( Im `  ( F `
 z ) ) )
200 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( Im `  ( F `
 z ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( -u (
Im `  ( F `  z ) )  e. 
RR*  /\  0  <_  -u ( Im `  ( F `
 z ) ) ) )
201198, 199, 200sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
20245a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol ` 
dom  F )  e.  RR )  /\  (
( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)  /\  z  e.  RR )  /\  -.  (
z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
203201, 202ifclda 3818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  RR )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
204 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
205203, 204fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
206 ifan 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  =  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )
207168renegcld 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  e.  RR )
208207leabsd 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) )
209169absnegd 12931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  ( abs `  -u ( Im `  ( F `  z )
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  z ) ) ) )
210208, 209breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  (
Im `  ( F `  z ) ) ) )
211207, 170, 75, 210, 173letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  z )
) )
212207, 75, 76, 211, 83letrd 9524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  -u ( Im
`  ( F `  z ) )  <_  x )
213 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u ( Im `  ( F `
 z ) )  =  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  ( -u ( Im `  ( F `  z )
)  <_  x  <->  if (
0  <_  -u ( Im
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
214 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  =  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  x  <->  if (
0  <_  -u ( Im
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x ) )
215213, 214ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u ( Im `  ( F `  z ) )  <_  x  /\  0  <_  x )  ->  if ( 0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x )
216212, 86, 215syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
0  <_  -u ( Im
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  x )
217 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
218217adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z )
) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u ( Im
`  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )
219216, 218, 943brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  /\  z  e.  dom  F )  ->  if (
z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z )
) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
220219ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e. 
dom  F  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u ( Im `  ( F `  z )
) ,  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if (
z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
221 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0 )
22298, 221, 1003brtr4d 4319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  dom  F  ->  if ( z  e. 
dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
223220, 222pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( z  e.  dom  F ,  if ( 0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) , 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
224206, 223syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
225224ralrimivw 2798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0  <_ 
-u ( Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `
 z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )
226 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  =  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) ) )
227106, 203, 68, 226, 108ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) )  <->  A. z  e.  RR  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 )  <_  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
228225, 227mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR )  /\  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )  ->  ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e.  dom  F  /\  0  <_  -u (
Im `  ( F `  z ) ) ) ,  -u ( Im `  ( F `  z ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( z  e.  RR  |->  if ( z  e.  dom  F ,  x ,  0 ) ) )
229 itg2le 21117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  |->  if ( ( z  e. 
dom  F  /\  0