Theorem sqsscirc2 29283

Description: The complex square of side 𝐷 is a subset of the complex disc of radius 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sqsscirc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Proof of Theorem sqsscirc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simpll 786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
4	3	recld 13782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
5	4	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 14023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
7	5	absge0d 14031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))))
8	6, 7	jca 553	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))))
9	3	imcld 13783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 9947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
11	10	abscld 14023	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
12	10	absge0d 14031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))
13	11, 12	jca 553	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))))
14		simpr 476	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
15		sqsscirc1 29282	. . 3 ⊢ (((((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))) ∧ ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))))) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
16	8, 13, 14, 15	syl21anc 1317	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
17	3	absval2d 14032	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
18	17	breq1d 4593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
19		absresq 13890	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
21		absresq 13890	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
22	9, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) = ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))
23	20, 22	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2)) = (((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2)))
24	23	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) = (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))))
25	24	breq1d 4593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷 ↔ (√‘(((ℜ‘(𝐵 − 𝐴))↑2) + ((ℑ‘(𝐵 − 𝐴))↑2))) < 𝐷))
26	18, 25	bitr4d 270	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷 ↔ (√‘(((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2) + ((abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴)))↑2))) < 𝐷))
27	16, 26	sylibrd 248	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((abs‘(ℜ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2) ∧ (abs‘(ℑ‘(𝐵 − 𝐴))) < (𝐷 / 2)) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722  ℜcre 13685  ℑcim 13686  √csqrt 13821  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  tpr2rico  29286