Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvresntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvresntr 38806
 Description: Function-builder for derivative: expand the function from an open set to its closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvresntr.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
dvresntr.x (𝜑𝑋𝑆)
dvresntr.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvresntr.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvresntr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvresntr.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvresntr (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem dvresntr
StepHypRef Expression
1 dvresntr.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
2 dvresntr.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dvresntr.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
4 dvresntr.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
5 dvresntr.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
64, 5dvres 23481 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑋𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
71, 2, 3, 3, 6syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)))
8 ffn 5958 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
9 fnresdm 5914 . . . 4 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝐹𝑋) = 𝐹)
102, 8, 93syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐹)
1110oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑋)) = (𝑆 D 𝐹))
124cnfldtopon 22396 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 20775 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 1, 13sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
155, 14syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
16 topontop 20541 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Top)
18 toponuni 20542 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
1915, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 = 𝐽)
203, 19sseqtrd 3604 . . . . . 6 (𝜑𝑋 𝐽)
21 eqid 2610 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
2221ntridm 20682 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
2317, 20, 22syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
24 dvresntr.i . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑌)
2524fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((int‘𝐽)‘𝑌))
2623, 25, 243eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑌) = 𝑌)
2726reseq2d 5317 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
2821ntrss2 20671 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
2917, 20, 28syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑋) ⊆ 𝑋)
3024, 29eqsstr3d 3603 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑋)
3130, 3sstrd 3578 . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
324, 5dvres 23481 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
331, 2, 3, 31, 32syl22anc 1319 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑌)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑌)))
3424reseq2d 5317 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝑌))
3527, 33, 343eqtr4rd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑋)) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))
367, 11, 353eqtr3d 2652 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑆 D (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  intcnt 20631   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fourierdlem73  39072
 Copyright terms: Public domain W3C validator