Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtoptopon 21317
 Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 20542 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
2 foeq2 6025 . . . . . 6 (𝑋 = 𝐽 → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐹:𝑋onto𝑌𝐹: 𝐽onto𝑌))
43biimpa 500 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹: 𝐽onto𝑌)
5 fofn 6030 . . . 4 (𝐹: 𝐽onto𝑌𝐹 Fn 𝐽)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝐹 Fn 𝐽)
7 topontop 20541 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
8 eqid 2610 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
98qtoptop 21313 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹 Fn 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
107, 9sylan 487 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 Fn 𝐽) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
116, 10syldan 486 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top)
128qtopuni 21315 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐹: 𝐽onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
137, 12sylan 487 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹: 𝐽onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
144, 13syldan 486 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹))
15 istopon 20540 . 2 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌) ↔ ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ Top ∧ 𝑌 = (𝐽 qTop 𝐹)))
1611, 14, 15sylanbrc 695 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOn‘𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   qTop cqtop 15986  Topctop 20517  TopOnctopon 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-qtop 15990  df-top 20521  df-topon 20523 This theorem is referenced by:  qtopid  21318  qtopcld  21326  qtopcn  21327  qtopeu  21329  qtoprest  21330  imastps  21334  kqtopon  21340  qtopf1  21429  qtophmeo  21430  qustgplem  21734  qtophaus  29231
 Copyright terms: Public domain W3C validator