MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Unicode version

Theorem qtoptopon 19412
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 18667 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 foeq2 5728 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F : X -onto-> Y 
<->  F : U. J -onto-> Y ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X -onto-> Y  <->  F : U. J -onto-> Y ) )
43biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : U. J -onto-> Y )
5 fofn 5733 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  F  Fn  U. J
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  Fn  U. J )
7 topontop 18666 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98qtoptop 19408 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  U. J )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Top )
107, 9sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  U. J )  -> 
( J qTop  F )  e.  Top )
116, 10syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
128qtopuni 19410 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
137, 12sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : U. J -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
144, 13syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
15 istopon 18665 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  <->  ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  Y  =  U. ( J qTop  F
) ) )
1611, 14, 15sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4202    Fn wfn 5524   -onto->wfo 5527   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   qTop cqtop 14563   Topctop 18633  TopOnctopon 18634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-qtop 14567  df-top 18638  df-topon 18641
This theorem is referenced by:  qtopid  19413  qtopcld  19421  qtopcn  19422  qtopeu  19424  qtoprest  19425  imastps  19429  kqtopon  19435  qtopf1  19524  qtophmeo  19525  divstgplem  19826
  Copyright terms: Public domain W3C validator