MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtoptopon Structured version   Unicode version

Theorem qtoptopon 20073
Description: The base set of the quotient topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qtoptopon  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )

Proof of Theorem qtoptopon
StepHypRef Expression
1 toponuni 19297 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2 foeq2 5798 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F : X -onto-> Y 
<->  F : U. J -onto-> Y ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( F : X -onto-> Y  <->  F : U. J -onto-> Y ) )
43biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F : U. J -onto-> Y )
5 fofn 5803 . . . 4  |-  ( F : U. J -onto-> Y  ->  F  Fn  U. J
)
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  F  Fn  U. J )
7 topontop 19296 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
98qtoptop 20069 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  Fn  U. J )  ->  ( J qTop  F
)  e.  Top )
107, 9sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  Fn  U. J )  -> 
( J qTop  F )  e.  Top )
116, 10syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  Top )
128qtopuni 20071 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : U. J -onto-> Y
)  ->  Y  =  U. ( J qTop  F ) )
137, 12sylan 471 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : U. J -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F )
)
144, 13syldan 470 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  Y  =  U. ( J qTop  F
) )
15 istopon 19295 . 2  |-  ( ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y )  <->  ( ( J qTop  F )  e.  Top  /\  Y  =  U. ( J qTop  F
) ) )
1611, 14, 15sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  e.  (TopOn `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4251    Fn wfn 5589   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   qTop cqtop 14775   Topctop 19263  TopOnctopon 19264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-qtop 14779  df-top 19268  df-topon 19271
This theorem is referenced by:  qtopid  20074  qtopcld  20082  qtopcn  20083  qtopeu  20085  qtoprest  20086  imastps  20090  kqtopon  20096  qtopf1  20185  qtophmeo  20186  qustgplem  20487  qtophaus  27664
  Copyright terms: Public domain W3C validator