MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld2 20812
Description: An upward ray [𝑃, +∞) is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld2
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3650 . . 3 {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ 𝑋
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 20807 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
43adantr 480 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 20542 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → 𝑋 = (ordTop‘𝑅))
71, 6syl5sseq 3616 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅))
8 notrab 3863 . . . 4 (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥}
96difeq1d 3689 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → (𝑋 ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
108, 9syl5eqr 2658 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} = ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}))
112ordtopn2 20809 . . 3 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑃𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1210, 11eqeltrrd 2689 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
13 topontop 20541 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
14 eqid 2610 . . . 4 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
1514iscld 20641 . . 3 ((ordTop‘𝑅) ∈ Top → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
164, 13, 153syl 18 . 2 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ({𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ⊆ (ordTop‘𝑅) ∧ ( (ordTop‘𝑅) ∖ {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))))
177, 12, 16mpbir2and 959 1 ((𝑅𝑉𝑃𝑋) → {𝑥𝑋𝑃𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  cdif 3537  wss 3540   cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  ordTopcordt 15982  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633
This theorem is referenced by:  ordtcld3  20813
  Copyright terms: Public domain W3C validator