Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtopn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopn3 20810
 Description: An open interval (𝐴, 𝐵) is open. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtopn3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtopn3
StepHypRef Expression
1 inrab 3858 . 2 ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) = {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)}
2 ordttopon.3 . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑅
32ordttopon 20807 . . . . 5 (𝑅𝑉 → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
433ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topontop 20541 . . . 4 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
72ordtopn1 20808 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
873adant3 1074 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅))
92ordtopn2 20809 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
1093adant2 1073 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅))
11 inopn 20529 . . 3 (((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∈ (ordTop‘𝑅) ∧ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥} ∈ (ordTop‘𝑅)) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
126, 8, 10, 11syl3anc 1318 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝑥𝑅𝐴} ∩ {𝑥𝑋 ∣ ¬ 𝐵𝑅𝑥}) ∈ (ordTop‘𝑅))
131, 12syl5eqelr 2693 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (¬ 𝑥𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝑥)} ∈ (ordTop‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  ordTopcordt 15982  Topctop 20517  TopOnctopon 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200  df-topgen 15927  df-ordt 15984  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator