MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topontop Structured version   Unicode version

Theorem topontop 18490
Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
topontop  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem topontop
StepHypRef Expression
1 istopon 18489 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
21simplbi 457 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   U.cuni 4088   ` cfv 5415   Topctop 18457  TopOnctopon 18458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-topon 18465
This theorem is referenced by:  toponmax  18492  topontopi  18495  topgele  18498  istps  18500  en2top  18549  pptbas  18571  toponmre  18656  cldmreon  18657  iscldtop  18658  neiptopreu  18696  resttopon  18724  resttopon2  18731  restlp  18746  restperf  18747  perfopn  18748  ordtopn3  18759  ordtcld1  18760  ordtcld2  18761  ordttop  18763  lmfval  18795  cnfval  18796  cnpfval  18797  tgcn  18815  tgcnp  18816  subbascn  18817  iscnp4  18826  iscncl  18832  cncls2  18836  cncls  18837  cnntr  18838  cncnp  18843  cnindis  18855  lmcls  18865  iscnrm2  18901  ist0-2  18907  ist1-2  18910  ishaus2  18914  hausnei2  18916  isreg2  18940  sscmp  18967  dfcon2  18982  clscon  18993  concompcld  18997  1stccnp  19025  kgenval  19067  kgenftop  19072  1stckgenlem  19085  kgen2ss  19087  txtopon  19123  pttopon  19128  txcls  19136  ptclsg  19147  dfac14lem  19149  xkoccn  19151  txcnp  19152  ptcnplem  19153  txlm  19180  cnmpt2res  19209  cnmptkp  19212  cnmptk1  19213  cnmpt1k  19214  cnmptkk  19215  cnmptk1p  19217  cnmptk2  19218  xkoinjcn  19219  qtoptopon  19236  qtopcld  19245  qtoprest  19249  qtopcmap  19251  kqval  19258  regr1lem  19271  kqreglem1  19273  kqreglem2  19274  kqnrmlem1  19275  kqnrmlem2  19276  kqtop  19277  pt1hmeo  19338  xpstopnlem1  19341  xkohmeo  19347  neifil  19412  trnei  19424  elflim  19503  flimss1  19505  flimopn  19507  fbflim2  19509  flimcf  19514  flimclslem  19516  flffval  19521  flfnei  19523  flftg  19528  cnpflf2  19532  isfcls2  19545  fclsopn  19546  fclsnei  19551  fclscf  19557  fclscmp  19562  fcfval  19565  fcfnei  19567  cnpfcf  19573  tgpmulg2  19624  tmdgsum  19625  tmdgsum2  19626  subgntr  19636  opnsubg  19637  clssubg  19638  clsnsg  19639  cldsubg  19640  snclseqg  19645  tgphaus  19646  divstgpopn  19649  prdstgpd  19654  tsmsgsum  19668  tsmsid  19669  tsmsgsumOLD  19671  tsmsidOLD  19672  tgptsmscld  19684  mopntop  19974  metdseq0  20389  cnmpt2pc  20459  ishtpy  20503  om1val  20561  pi1val  20568  csscld  20720  clsocv  20721  relcmpcmet  20786  bcth2  20800  limcres  21320  perfdvf  21337  dvaddbr  21371  dvmulbr  21372  dvcmulf  21378  dvmptres2  21395  dvmptcmul  21397  dvmptntr  21404  dvcnvlem  21407  lhop2  21446  lhop  21447  dvcnvrelem2  21449  taylthlem1  21797  locfincf  28503  neibastop2  28507  neibastop3  28508  topjoin  28511  istopclsd  28961
  Copyright terms: Public domain W3C validator