MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topontop Structured version   Unicode version

Theorem topontop 18546
Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
topontop  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem topontop
StepHypRef Expression
1 istopon 18545 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
21simplbi 460 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4106   ` cfv 5433   Topctop 18513  TopOnctopon 18514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fv 5441  df-topon 18521
This theorem is referenced by:  toponmax  18548  topontopi  18551  topgele  18554  istps  18556  en2top  18605  pptbas  18627  toponmre  18712  cldmreon  18713  iscldtop  18714  neiptopreu  18752  resttopon  18780  resttopon2  18787  restlp  18802  restperf  18803  perfopn  18804  ordtopn3  18815  ordtcld1  18816  ordtcld2  18817  ordttop  18819  lmfval  18851  cnfval  18852  cnpfval  18853  tgcn  18871  tgcnp  18872  subbascn  18873  iscnp4  18882  iscncl  18888  cncls2  18892  cncls  18893  cnntr  18894  cncnp  18899  cnindis  18911  lmcls  18921  iscnrm2  18957  ist0-2  18963  ist1-2  18966  ishaus2  18970  hausnei2  18972  isreg2  18996  sscmp  19023  dfcon2  19038  clscon  19049  concompcld  19053  1stccnp  19081  kgenval  19123  kgenftop  19128  1stckgenlem  19141  kgen2ss  19143  txtopon  19179  pttopon  19184  txcls  19192  ptclsg  19203  dfac14lem  19205  xkoccn  19207  txcnp  19208  ptcnplem  19209  txlm  19236  cnmpt2res  19265  cnmptkp  19268  cnmptk1  19269  cnmpt1k  19270  cnmptkk  19271  cnmptk1p  19273  cnmptk2  19274  xkoinjcn  19275  qtoptopon  19292  qtopcld  19301  qtoprest  19305  qtopcmap  19307  kqval  19314  regr1lem  19327  kqreglem1  19329  kqreglem2  19330  kqnrmlem1  19331  kqnrmlem2  19332  kqtop  19333  pt1hmeo  19394  xpstopnlem1  19397  xkohmeo  19403  neifil  19468  trnei  19480  elflim  19559  flimss1  19561  flimopn  19563  fbflim2  19565  flimcf  19570  flimclslem  19572  flffval  19577  flfnei  19579  flftg  19584  cnpflf2  19588  isfcls2  19601  fclsopn  19602  fclsnei  19607  fclscf  19613  fclscmp  19618  fcfval  19621  fcfnei  19623  cnpfcf  19629  tgpmulg2  19680  tmdgsum  19681  tmdgsum2  19682  subgntr  19692  opnsubg  19693  clssubg  19694  clsnsg  19695  cldsubg  19696  snclseqg  19701  tgphaus  19702  divstgpopn  19705  prdstgpd  19710  tsmsgsum  19724  tsmsid  19725  tsmsgsumOLD  19727  tsmsidOLD  19728  tgptsmscld  19740  mopntop  20030  metdseq0  20445  cnmpt2pc  20515  ishtpy  20559  om1val  20617  pi1val  20624  csscld  20776  clsocv  20777  relcmpcmet  20842  bcth2  20856  limcres  21376  perfdvf  21393  dvaddbr  21427  dvmulbr  21428  dvcmulf  21434  dvmptres2  21451  dvmptcmul  21453  dvmptntr  21460  dvcnvlem  21463  lhop2  21502  lhop  21503  dvcnvrelem2  21505  taylthlem1  21853  locfincf  28597  neibastop2  28601  neibastop3  28602  topjoin  28605  istopclsd  29055
  Copyright terms: Public domain W3C validator