Theorem f1fveq 6420

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 6418	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) → 𝐶 = 𝐷))
2		fveq2 6103	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷))
3	1, 2	impbid1 214	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝐶) = (𝐹‘𝐷) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  f1elima  6421  f1dom3fv3dif  6425  cocan1  6446  isof1oidb  6474  isosolem  6497  f1oiso  6501  weniso  6504  f1oweALT  7043  2dom  7915  xpdom2  7940  wemapwe  8477  fseqenlem1  8730  dfac12lem2  8849  infpssrlem4  9011  fin23lem28  9045  isf32lem7  9064  iundom2g  9241  canthnumlem  9349  canthwelem  9351  canthp1lem2  9354  pwfseqlem4  9363  seqf1olem1  12702  bitsinv2  15003  bitsf1  15006  sadasslem  15030  sadeq  15032  bitsuz  15034  eulerthlem2  15325  f1ocpbllem  16007  f1ovscpbl  16009  fthi  16401  ghmf1  17512  f1omvdmvd  17686  odf1  17802  dprdf1o  18254  ply1scln0  19482  zntoslem  19724  iporthcom  19799  cnt0  20960  cnhaus  20968  imasdsf1olem  21988  imasf1oxmet  21990  dyadmbl  23174  vitalilem3  23185  dvcnvlem  23543  facth1  23728  usgraidx2v  25922  wlkdvspthlem  26137  cyclnspth  26159  usgrcyclnl2  26169  erdszelem9  30435  cvmliftmolem1  30517  msubff1  30707  metf1o  32721  rngoisocnv  32950  laut11  34390  gicabl  36687  fourierdlem50  39049  usgredg2v  40454