Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oxmet 21990
 Description: The image of an extended metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1oxmet.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1oxmet.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1oxmet.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oxmet.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1oxmet.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1oxmet.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1oxmet.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
imasf1oxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Proof of Theorem imasf1oxmet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1oxmet.u . . . 4 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1oxmet.v . . . 4 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1oxmet.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 f1ofo 6057 . . . . 5 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
6 imasf1oxmet.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑍)
7 eqid 2610 . . . 4 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
8 imasf1oxmet.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑈)
91, 2, 5, 6, 7, 8imasdsfn 15997 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵))
101adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
136adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑅𝑍)
14 imasf1oxmet.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
15 imasf1oxmet.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
17 simprl 790 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑎𝑉)
18 simprr 792 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → 𝑏𝑉)
1910, 11, 12, 13, 14, 8, 16, 17, 18imasdsf1o 21989 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
20 xmetcl 21946 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
21203expb 1258 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2215, 21sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ∈ ℝ*)
2319, 22eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
2423ralrimivva 2954 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*)
25 f1ofn 6051 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑉)
27 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)))
2827eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
2928ralrn 6270 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
3026, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ*))
31 forn 6031 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
325, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
3332raleqdv 3121 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3430, 33bitr3d 269 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3534ralbidv 2969 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3624, 35mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
37 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐹𝑎)𝐷𝑦))
3837eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
3938ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4039ralrn 6270 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4126, 40syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4232raleqdv 3121 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4341, 42bitr3d 269 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ∈ ℝ* ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
4436, 43mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
45 ffnov 6662 . . 3 (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ↔ (𝐷 Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*))
469, 44, 45sylanbrc 695 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
47 xmeteq0 21953 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4816, 17, 18, 47syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑎𝐸𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
4919eqeq1d 2612 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝑎𝐸𝑏) = 0))
50 f1of1 6049 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉1-1𝐵)
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑉1-1𝐵)
52 f1fveq 6420 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑉1-1𝐵 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5351, 52sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = 𝑏))
5448, 49, 533bitr4d 299 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
5516adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
56 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
5717adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑎𝑉)
5818adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
59 xmettri2 21955 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑐𝑉𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6055, 56, 57, 58, 59syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑎𝐸𝑏) ≤ ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6119adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑎𝐸𝑏))
6210adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
6311adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
6412adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
6513adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → 𝑅𝑍)
6662, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 57imasdsf1o 21989 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) = (𝑐𝐸𝑎))
6762, 63, 64, 65, 14, 8, 55, 56, 58imasdsf1o 21989 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)) = (𝑐𝐸𝑏))
6866, 67oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) = ((𝑐𝐸𝑎) +𝑒 (𝑐𝐸𝑏)))
6960, 61, 683brtr4d 4615 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7069ralrimiva 2949 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
71 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑎)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)))
72 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (𝑧𝐷(𝐹𝑏)) = ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))
7371, 72oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝐹𝑐) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) = (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))))
7473breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝐹𝑐) → (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7574ralrn 6270 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7626, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏)))))
7732raleqdv 3121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran 𝐹((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7876, 77bitr3d 269 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (∀𝑐𝑉 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ (((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 ((𝐹𝑐)𝐷(𝐹𝑏))) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8070, 79mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8154, 80jca 553 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8281ralrimivva 2954 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8327eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0))
84 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝐹𝑎) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)))
8583, 84bibi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))))
86 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))
8786oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑏) → ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))
8827, 87breq12d 4596 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
8988ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))))
9085, 89anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑏) → (((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9190ralrn 6270 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9226, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏))))))
9332raleqdv 3121 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9492, 93bitr3d 269 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9594ralbidv 2969 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 ((((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷(𝐹𝑏)) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷(𝐹𝑏)))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
9682, 95mpbid 221 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
9737eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0))
98 eqeq1 2614 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦))
9997, 98bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦)))
100 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷(𝐹𝑎)))
101100oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
10237, 101breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
103102ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
10499, 103anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑎) → ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
105104ralbidv 2969 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑎) → (∀𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
106105ralrn 6270 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10726, 106syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
10832raleqdv 3121 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
109107, 108bitr3d 269 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝑉𝑦𝐵 ((((𝐹𝑎)𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝐹𝑎) = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝐹𝑎)𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷(𝐹𝑎)) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
11096, 109mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
11115elfvexd 6132 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
112 fornex 7028 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝐹:𝑉onto𝐵𝐵 ∈ V))
113111, 5, 112sylc 63 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ V)
114 isxmet 21939 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
115113, 114syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ↔ (𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝐵 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
11646, 110, 115mpbir2and 959 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954   +𝑒 cxad 11820  Basecbs 15695  distcds 15777   “s cimas 15987  ∞Metcxmt 19552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-xrs 15985  df-imas 15991  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-xmet 19560 This theorem is referenced by:  imasf1omet  21991  xpsxmet  21995  imasf1obl  22103  imasf1oxms  22104
 Copyright terms: Public domain W3C validator