MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpssrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpssrlem4 9011
Description: Lemma for infpssr 9013. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem4 ((𝜑𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁𝑀) → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁))

Proof of Theorem infpssrlem4
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝐺𝑐) = (𝐺‘∅))
21neeq1d 2841 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)))
32raleqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)))
43imbi2d 329 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏))))
5 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑑))
65neeq1d 2841 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
76raleqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
87imbi2d 329 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
9 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = suc 𝑑 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑑))
109neeq1d 2841 . . . . . . 7 (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
1110raleqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝑐 = suc 𝑑 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
1211imbi2d 329 . . . . 5 (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
13 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑀 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑀))
1413neeq1d 2841 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑀 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
1514raleqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑀 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
1615imbi2d 329 . . . . 5 (𝑐 = 𝑀 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏))))
17 ral0 4028 . . . . . 6 𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏))
19 infpssrlem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
20 f1ocnv 6062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
21 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐹:𝐴𝐵)
24 infpssrlem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵𝐴)
25 infpssrlem.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
26 infpssrlem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
2724, 19, 25, 26infpssrlem3 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
2827ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ ω) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
2928ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
3023, 29ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ∈ 𝐵)
3125eldifbd 3553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐵)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → ¬ 𝐶𝐵)
33 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹‘(𝐺𝑑)) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ 𝐶)
3430, 32, 33syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ 𝐶)
3524, 19, 25, 26infpssrlem2 9009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
3724, 19, 25, 26infpssrlem1 9008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘∅) = 𝐶)
3934, 36, 383netr4d 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
40393adant3 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
411neeq2d 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = ∅ → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅)))
4240, 41syl5ibr 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = ∅ → ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
4342adantrd 483 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
44 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ suc 𝑑)
45 peano2 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ω → suc 𝑑 ∈ ω)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑑 ∈ ω)
47 elnn 6967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ suc 𝑑 ∧ suc 𝑑 ∈ ω) → 𝑐 ∈ ω)
4844, 46, 47syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
49483ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ∈ ω)
51 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ≠ ∅)
52 nnsuc 6974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
5350, 51, 52syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
54 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑑 ∈ ω
55 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏𝜑
56 nfra1 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)
5754, 55, 56nf3an 1819 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏(𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
58 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 𝑐 ∈ suc 𝑑
5957, 58nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)
60 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)
61 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)
63 nnord 6965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ ω → Ord 𝑑)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → Ord 𝑑)
65 ordsucelsuc 6914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑑 → (𝑏𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
6762, 66mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏𝑑)
68673ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏𝑑)
6968adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → 𝑏𝑑)
70 rsp 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝑏𝑑 → (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
7161, 69, 70sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
72 f1of1 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
7319, 20, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
7473ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
7529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
7627ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)
7776adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)
78 f1fveq 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ ((𝐺𝑑) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) = (𝐺𝑏)))
7974, 75, 77, 78syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) = (𝐺𝑏)))
8079necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
8180biimprd 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
8324, 19, 25, 26infpssrlem2 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
8582, 84neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8685adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8781, 86sylibrd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
8887adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
89883adantl3 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
9071, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))
9190expr 641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
92 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝑐 ∈ suc 𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
9392anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) ↔ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)))
94 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
9594neeq2d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
9695imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)) ↔ (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))))
9793, 96imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = suc 𝑏 → ((((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))) ↔ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))))
9891, 97mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))))
9998com3l 87 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))))
10059, 60, 99rexlimd 3008 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
10253, 101mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
103102ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ≠ ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
10443, 103pm2.61ine 2865 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
105104ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → ∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
106 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑏))
107106neeq2d 2842 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
108107cbvralv 3147 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
109105, 108sylib 207 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
1101093exp 1256 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ω → (𝜑 → (∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
111110a2d 29 . . . . 5 (𝑑 ∈ ω → ((𝜑 → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
1124, 8, 12, 16, 18, 111finds 6984 . . . 4 (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
113112impcom 445 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ω) → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏))
114 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑏 = 𝑁 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑁))
115114neeq2d 2842 . . . 4 (𝑏 = 𝑁 → ((𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
116115rspccv 3279 . . 3 (∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏) → (𝑁𝑀 → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
117113, 116syl 17 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ω) → (𝑁𝑀 → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
1181173impia 1253 1 ((𝜑𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁𝑀) → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  ccnv 5037  cres 5040  Ord word 5639  suc csuc 5642  wf 5800  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  ωcom 6957  reccrdg 7392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393
This theorem is referenced by:  infpssrlem5  9012
  Copyright terms: Public domain W3C validator