Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1 17802
 Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odf1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 17382 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433expa 1257 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
54an32s 842 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6 odf1.4 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
75, 6fmptd 6292 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
87adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑥 · 𝐴) ∈ V
119, 6, 10fvmpt3i 6196 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
1312, 6, 10fvmpt3i 6196 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
1411, 13eqeqan12d 2626 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
1514adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂𝐴) = 0)
1716breq1d 4593 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦𝑧)))
18 odf1.2 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
19 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
201, 18, 2, 19odcong 17791 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21203expa 1257 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
2221adantlr 747 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
23 zsubcl 11296 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑧) ∈ ℤ)
25 0dvds 14840 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦𝑧) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
2717, 22, 263bitr3d 297 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦𝑧) = 0))
28 zcn 11259 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
29 zcn 11259 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
30 subeq0 10186 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3128, 29, 30syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3231adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
3315, 27, 323bitrd 293 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3433biimpd 218 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3534ralrimivva 2954 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
36 dff13 6416 . . 3 (𝐹:ℤ–1-1𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
378, 35, 36sylanbrc 695 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
381, 18, 2, 19odid 17780 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0g𝐺))
391, 19, 2mulg0 17369 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
4038, 39eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4140ad2antlr 759 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
421, 18odcl 17778 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4342ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11356 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
45 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑂𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4645, 6, 10fvmpt3i 6196 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
4744, 46syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
48 0zd 11266 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 0 ∈ ℤ)
49 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
5049, 6, 10fvmpt3i 6196 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5148, 50syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
5241, 47, 513eqtr4d 2654 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0))
53 simpr 476 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
54 f1fveq 6420 . . . 4 ((𝐹:ℤ–1-1𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5553, 44, 48, 54syl12anc 1316 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → ((𝐹‘(𝑂𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
5652, 55mpbid 221 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1𝑋) → (𝑂𝐴) = 0)
5737, 56impbida 873 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  odcod 17767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-od 17771 This theorem is referenced by:  odinf  17803  odcl2  17805  zrhchr  29348
 Copyright terms: Public domain W3C validator