Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iporthcom 19799
 Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
Assertion
Ref Expression
iporthcom ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))

Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21phlsrng 19795 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
323ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐹 ∈ *-Ring)
4 eqid 2610 . . . . 5 (*rf𝐹) = (*rf𝐹)
5 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
64, 5srngf1o 18677 . . . 4 (𝐹 ∈ *-Ring → (*rf𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹))
7 f1of1 6049 . . . 4 ((*rf𝐹):(Base‘𝐹)–1-1-onto→(Base‘𝐹) → (*rf𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
83, 6, 73syl 18 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (*rf𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹))
9 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
10 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
111, 9, 10, 5ipcl 19797 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹))
12 phllmod 19794 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
13123ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14 ip0l.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝐹)
151, 5, 14lmod0cl 18712 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
1613, 15syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))
17 f1fveq 6420 . . 3 (((*rf𝐹):(Base‘𝐹)–1-1→(Base‘𝐹) ∧ ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐹))) → (((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
188, 11, 16, 17syl12anc 1316 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐴 , 𝐵) = 𝑍))
19 eqid 2610 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
205, 19, 4stafval 18671 . . . . 5 ((𝐴 , 𝐵) ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
2111, 20syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*𝑟𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)))
221, 9, 10, 19ipcj 19798 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
2321, 22eqtrd 2644 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = (𝐵 , 𝐴))
245, 19, 4stafval 18671 . . . . 5 (𝑍 ∈ (Base‘𝐹) → ((*rf𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟𝐹)‘𝑍))
2516, 24syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*rf𝐹)‘𝑍) = ((*𝑟𝐹)‘𝑍))
2619, 14srng0 18683 . . . . 5 (𝐹 ∈ *-Ring → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
273, 26syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*𝑟𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
2825, 27eqtrd 2644 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((*rf𝐹)‘𝑍) = 𝑍)
2923, 28eqeq12d 2625 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((*rf𝐹)‘(𝐴 , 𝐵)) = ((*rf𝐹)‘𝑍) ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
3018, 29bitr3d 269 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 , 𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐵 , 𝐴) = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  *𝑟cstv 15770  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  0gc0g 15923  *rfcstf 18666  *-Ringcsr 18667  LModclmod 18686  PreHilcphl 19788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-rnghom 18538  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790 This theorem is referenced by:  ocvocv  19834  lsmcss  19855  cphorthcom  22809
 Copyright terms: Public domain W3C validator