MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phllmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phllmod 19794
Description: A pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
phllmod (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem phllmod
StepHypRef Expression
1 phllvec 19793 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 18927 . 2 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  LModclmod 18686  LVecclvec 18923  PreHilcphl 19788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lvec 18924  df-phl 19790
This theorem is referenced by:  iporthcom  19799  ip0l  19800  ip0r  19801  ipdir  19803  ipdi  19804  ip2di  19805  ipsubdir  19806  ipsubdi  19807  ip2subdi  19808  ipass  19809  ipassr  19810  ip2eq  19817  phssip  19822  ocvlss  19835  ocvin  19837  ocvlsp  19839  ocvz  19841  ocv1  19842  lsmcss  19855  pjdm2  19874  pjff  19875  pjf2  19877  pjfo  19878  ocvpj  19880  obselocv  19891  obslbs  19893  tchclm  22839  ipcau2  22841  tchcphlem1  22842  tchcphlem2  22843  tchcph  22844  pjth  23018
  Copyright terms: Public domain W3C validator