MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Unicode version

Theorem iporthcom 18477
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
Assertion
Ref Expression
iporthcom  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )

Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
21phlsrng 18473 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
323ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  F  e.  *Ring )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( *rf `  F
)  =  ( *rf `  F
)
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5srngf1o 17315 . . . 4  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( *rf `  F
) : ( Base `  F ) -1-1-onto-> ( Base `  F
) )
7 f1of1 5815 . . . 4  |-  ( ( *rf `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-onto-> ( Base `  F )  -> 
( *rf `  F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
) )
83, 6, 73syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
*rf `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-> ( Base `  F
) )
9 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
10 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
111, 9, 10, 5ipcl 18475 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
) )
12 phllmod 18472 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
13123ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
14 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
151, 5, 14lmod0cl 17350 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
17 f1fveq 6159 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
)  /\  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  /\  Z  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
188, 11, 16, 17syl12anc 1226 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
19 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
205, 19, 4stafval 17309 . . . . 5  |-  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
*rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( *r `  F ) `
 ( A  .,  B ) ) )
2111, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( *r `  F
) `  ( A  .,  B ) ) )
221, 9, 10, 19ipcj 18476 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B  .,  A ) )
2321, 22eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B 
.,  A ) )
245, 19, 4stafval 17309 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
*rf `  F ) `  Z
)  =  ( ( *r `  F
) `  Z )
)
2516, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  Z )  =  ( ( *r `  F ) `  Z
) )
2619, 14srng0 17321 . . . . 5  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( (
*r `  F
) `  Z )  =  Z )
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  Z
)  =  Z )
2825, 27eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  Z )  =  Z )
2923, 28eqeq12d 2489 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
3018, 29bitr3d 255 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   *rcstv 14560  Scalarcsca 14561   .icip 14563   0gc0g 14698   *rfcstf 17304   *Ringcsr 17305   LModclmod 17324   PreHilcphl 18466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-grp 15871  df-ghm 16079  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085  df-rnghom 17177  df-staf 17306  df-srng 17307  df-lmod 17326  df-lmhm 17480  df-lvec 17561  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-phl 18468
This theorem is referenced by:  ocvocv  18509  lsmcss  18530  cphorthcom  21474
  Copyright terms: Public domain W3C validator