MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iporthcom Structured version   Unicode version

Theorem iporthcom 18076
Description: Orthogonality (meaning inner product is 0) is commutative. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
Assertion
Ref Expression
iporthcom  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )

Proof of Theorem iporthcom
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
21phlsrng 18072 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
323ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  F  e.  *Ring )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( *rf `  F
)  =  ( *rf `  F
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
64, 5srngf1o 16951 . . . 4  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( *rf `  F
) : ( Base `  F ) -1-1-onto-> ( Base `  F
) )
7 f1of1 5652 . . . 4  |-  ( ( *rf `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-onto-> ( Base `  F )  -> 
( *rf `  F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
) )
83, 6, 73syl 20 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
*rf `  F ) : (
Base `  F ) -1-1-> ( Base `  F
) )
9 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
10 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
111, 9, 10, 5ipcl 18074 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
) )
12 phllmod 18071 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
13123ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
14 ip0l.z . . . . 5  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
151, 5, 14lmod0cl 16986 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
1613, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  Z  e.  ( Base `  F
) )
17 f1fveq 5987 . . 3  |-  ( ( ( *rf `  F ) : ( Base `  F
) -1-1-> ( Base `  F
)  /\  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  /\  Z  e.  ( Base `  F )
) )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
188, 11, 16, 17syl12anc 1216 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( A  .,  B )  =  Z ) )
19 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
205, 19, 4stafval 16945 . . . . 5  |-  ( ( A  .,  B )  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
*rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( *r `  F ) `
 ( A  .,  B ) ) )
2111, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( ( *r `  F
) `  ( A  .,  B ) ) )
221, 9, 10, 19ipcj 18075 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B  .,  A ) )
2321, 22eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  ( A  .,  B ) )  =  ( B 
.,  A ) )
245, 19, 4stafval 16945 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( Base `  F
)  ->  ( (
*rf `  F ) `  Z
)  =  ( ( *r `  F
) `  Z )
)
2516, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  Z )  =  ( ( *r `  F ) `  Z
) )
2619, 14srng0 16957 . . . . 5  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( (
*r `  F
) `  Z )  =  Z )
273, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  Z
)  =  Z )
2825, 27eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( *rf `  F ) `  Z )  =  Z )
2923, 28eqeq12d 2457 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( ( *rf `  F ) `
 ( A  .,  B ) )  =  ( ( *rf `  F ) `
 Z )  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
3018, 29bitr3d 255 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( A  .,  B
)  =  Z  <->  ( B  .,  A )  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   -1-1->wf1 5427   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   *rcstv 14252  Scalarcsca 14253   .icip 14255   0gc0g 14390   *rfcstf 16940   *Ringcsr 16941   LModclmod 16960   PreHilcphl 18065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-mhm 15476  df-grp 15557  df-ghm 15757  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-rnghom 16818  df-staf 16942  df-srng 16943  df-lmod 16962  df-lmhm 17115  df-lvec 17196  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-phl 18067
This theorem is referenced by:  ocvocv  18108  lsmcss  18129  cphorthcom  20731
  Copyright terms: Public domain W3C validator