Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcl 19797
 Description: Closure of the inner product operation in a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcl.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipcl ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem ipcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵))
51, 2, 3, 4phllmhm 19796 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6 ipcl.f . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
7 rlmbas 19016 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
86, 7eqtri 2632 . . . . . 6 𝐾 = (Base‘(ringLMod‘𝐹))
93, 8lmhmf 18855 . . . . 5 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉𝐾)
105, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉𝐾)
114fmpt 6289 . . . 4 (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐵)):𝑉𝐾)
1210, 11sylibr 223 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉) → ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾)
13 oveq1 6556 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
1413eleq1d 2672 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾 ↔ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾))
1514rspccva 3281 . . 3 ((∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐵) ∈ 𝐾𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
1612, 15stoic3 1692 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
17163com23 1263 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773   LMHom clmhm 18840  ringLModcrglmod 18990  PreHilcphl 19788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-ghm 17481  df-lmhm 18843  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790 This theorem is referenced by:  iporthcom  19799  ipdi  19804  ip2di  19805  ipsubdir  19806  ipsubdi  19807  ip2subdi  19808  ipassr  19810  phlipf  19816  ip2eq  19817  lsmcss  19855  cphipcl  22799  cphnmf  22803  cphsubdir  22816  cphsubdi  22817  cph2subdi  22818  tchcphlem3  22840  ipcau2  22841  tchcphlem1  22842  tchcph  22844  nmparlem  22846  pjthlem1  23016
 Copyright terms: Public domain W3C validator