MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmparlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmparlem 22846
Description: Lemma for nmpar 22847. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmpar.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmpar.p + = (+g𝑊)
nmpar.m = (-g𝑊)
nmpar.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmpar.h , = (·𝑖𝑊)
nmpar.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nmpar.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nmpar.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
nmpar.2 (𝜑𝐴𝑉)
nmpar.3 (𝜑𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
nmparlem (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))

Proof of Theorem nmparlem
StepHypRef Expression
1 nmpar.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
2 nmpar.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 nmpar.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
4 nmpar.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
5 nmpar.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
6 nmpar.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
71, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6cph2di 22815 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
8 nmpar.m . . . . 5 = (-g𝑊)
91, 2, 8, 4, 5, 6, 5, 6cph2subdi 22818 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))))
107, 9oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))))
11 cphclm 22797 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
13 nmpar.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
14 nmpar.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
1513, 14clmsscn 22687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1612, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
17 cphphl 22779 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
184, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
1913, 1, 2, 14ipcl 19797 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐴𝑉) → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2018, 5, 5, 19syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2113, 1, 2, 14ipcl 19797 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐵𝑉) → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2218, 6, 6, 21syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2313, 14clmacl 22692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐴) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐵) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2412, 20, 22, 23syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ 𝐾)
2516, 24sseldd 3569 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) ∈ ℂ)
2613, 1, 2, 14ipcl 19797 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2718, 5, 6, 26syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾)
2813, 1, 2, 14ipcl 19797 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐴𝑉) → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
2918, 6, 5, 28syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾)
3013, 14clmacl 22692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ (𝐴 , 𝐵) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 , 𝐴) ∈ 𝐾) → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3112, 27, 29, 30syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ 𝐾)
3216, 31sseldd 3569 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)) ∈ ℂ)
3325, 32, 25ppncand 10311 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴))) + (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) − ((𝐴 , 𝐵) + (𝐵 , 𝐴)))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
3410, 33eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
35 cphlmod 22782 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
364, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
372, 3lmodvacl 18700 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
3836, 5, 6, 37syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
39 nmpar.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑊)
402, 1, 39nmsq 22802 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
414, 38, 40syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)))
422, 8lmodvsubcl 18731 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
4336, 5, 6, 42syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉)
442, 1, 39nmsq 22802 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐵) ∈ 𝑉) → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
454, 43, 44syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵)))
4641, 45oveq12d 6567 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((𝐴 + 𝐵) , (𝐴 + 𝐵)) + ((𝐴 𝐵) , (𝐴 𝐵))))
472, 1, 39nmsq 22802 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
484, 5, 47syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴)↑2) = (𝐴 , 𝐴))
492, 1, 39nmsq 22802 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
504, 6, 49syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐵)↑2) = (𝐵 , 𝐵))
5148, 50oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2)) = ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)))
5251oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
53252timesd 11152 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5452, 53eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))) = (((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵)) + ((𝐴 , 𝐴) + (𝐵 , 𝐵))))
5534, 46, 543eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (((𝑁‘(𝐴 + 𝐵))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (2 · (((𝑁𝐴)↑2) + ((𝑁𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  2c2 10947  cexp 12722  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  ·𝑖cip 15773  -gcsg 17247  LModclmod 18686  PreHilcphl 19788  normcnm 22191  ℂModcclm 22670  ℂPreHilccph 22774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-nlm 22201  df-clm 22671  df-cph 22776
This theorem is referenced by:  nmpar  22847
  Copyright terms: Public domain W3C validator