MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcl Structured version   Unicode version

Theorem ipcl 17904
Description: Closure of the inner product operation in a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcl.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ipcl  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )

Proof of Theorem ipcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 phllmhm.h . . . . . . 7  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 phllmhm.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  B ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )
51, 2, 3, 4phllmhm 17903 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
6 ipcl.f . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 rlmbas 17198 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
86, 7eqtri 2453 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
93, 8lmhmf 17037 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
114fmpt 5852 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  (
x  .,  B )  e.  K  <->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
1210, 11sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  A. x  e.  V  ( x  .,  B )  e.  K
)
13 oveq1 6087 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .,  B )  =  ( A  .,  B ) )
1413eleq1d 2499 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .,  B
)  e.  K  <->  ( A  .,  B )  e.  K
) )
1514rspccva 3061 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  V  ( x  .,  B )  e.  K  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
1612, 15sylan 468 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  /\  A  e.  V
)  ->  ( A  .,  B )  e.  K
)
17163impa 1175 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
18173com23 1186 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705    e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157  Scalarcsca 14224   .icip 14226   LMHom clmhm 17022  ringLModcrglmod 17172   PreHilcphl 17895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-ghm 15725  df-lmhm 17025  df-sra 17175  df-rgmod 17176  df-phl 17897
This theorem is referenced by:  iporthcom  17906  ipdi  17911  ip2di  17912  ipsubdir  17913  ipsubdi  17914  ip2subdi  17915  ipassr  17917  phlipf  17923  ip2eq  17924  lsmcss  17959  cphipcl  20552  cphnmf  20556  cphsubdir  20568  cphsubdi  20569  cph2subdi  20570  tchcphlem3  20590  ipcau2  20591  tchcphlem1  20592  tchcph  20594  nmparlem  20596  pjthlem1  20766
  Copyright terms: Public domain W3C validator