MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcl Structured version   Unicode version

Theorem ipcl 18197
Description: Closure of the inner product operation in a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcl.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
Assertion
Ref Expression
ipcl  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )

Proof of Theorem ipcl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . . 7  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 phllmhm.h . . . . . . 7  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 phllmhm.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  V  |->  ( x 
.,  B ) )  =  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )
51, 2, 3, 4phllmhm 18196 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) ) )
6 ipcl.f . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 rlmbas 17409 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  (ringLMod `  F
) )
86, 7eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  (ringLMod `  F ) )
93, 8lmhmf 17248 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) )  e.  ( W LMHom 
(ringLMod `  F ) )  ->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
105, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  (
x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
114fmpt 5976 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  V  (
x  .,  B )  e.  K  <->  ( x  e.  V  |->  ( x  .,  B ) ) : V --> K )
1210, 11sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  ->  A. x  e.  V  ( x  .,  B )  e.  K
)
13 oveq1 6210 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  .,  B )  =  ( A  .,  B ) )
1413eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  .,  B
)  e.  K  <->  ( A  .,  B )  e.  K
) )
1514rspccva 3178 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  V  ( x  .,  B )  e.  K  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
1612, 15sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V )  /\  A  e.  V
)  ->  ( A  .,  B )  e.  K
)
17163impa 1183 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  B  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
18173com23 1194 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296  Scalarcsca 14364   .icip 14366   LMHom clmhm 17233  ringLModcrglmod 17383   PreHilcphl 18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-ghm 15868  df-lmhm 17236  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-phl 18190
This theorem is referenced by:  iporthcom  18199  ipdi  18204  ip2di  18205  ipsubdir  18206  ipsubdi  18207  ip2subdi  18208  ipassr  18210  phlipf  18216  ip2eq  18217  lsmcss  18252  cphipcl  20852  cphnmf  20856  cphsubdir  20868  cphsubdi  20869  cph2subdi  20870  tchcphlem3  20890  ipcau2  20891  tchcphlem1  20892  tchcph  20894  nmparlem  20896  pjthlem1  21066
  Copyright terms: Public domain W3C validator