Theorem ipcl 9704

Description: An inner product is a complex number.

Hypotheses

Ref	Expression
ipcl.1	|- X = (BaseSet` U)
ipcl.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipcl	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Proof of Theorem ipcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcl.1	. . 3 |- X = (BaseSet` U)
2		eqid 1884	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1884	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1884	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
5		ipcl.7	. . 3 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 9692	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4))
7		elfznn 7666	. . . . . . 7 |- (k e. (1...4) -> k e. NN)
8		nnnn0 7315	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> k e. NN0)
9		axicn 6423	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
10		expcl 7824	. . . . . . . 8 |- ((_i e. CC /\ k e. NN0) -> (_i^k) e. CC)
11	9, 10	mpan 759	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (_i^k) e. CC)
12	7, 8, 11	3syl 24	. . . . . 6 |- (k e. (1...4) -> (_i^k) e. CC)
13	12	adantl 424	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (_i^k) e. CC)
14	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 9695	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ (_i^k) e. CC) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
15	14, 12	sylan2 500	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC)
16		mulcl 6456	. . . . 5 |- (((_i^k) e. CC /\ (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2) e. CC) -> ((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
17	13, 15, 16	syl11anc 524	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) /\ k e. (1...4)) -> ((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
18	17	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> A.k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
19		1z 7368	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
20	19	eluz1i 7591	. . . . 5 |- (4 e. (ZZ>=` 1) <-> (4 e. ZZ /\ 1 <_ 4))
21		4nn 7186	. . . . . 6 |- 4 e. NN
22		nnz 7362	. . . . . 6 |- (4 e. NN -> 4 e. ZZ)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . 5 |- 4 e. ZZ
24		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
25	24	subidi 6551	. . . . . . 7 |- (1 - 1) = 0
26		4pos 7176	. . . . . . 7 |- 0 < 4
27	25, 26	eqbrtri 3356	. . . . . 6 |- (1 - 1) < 4
28		1nn 7117	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
29		nnlem1lt 7395	. . . . . . 7 |- ((1 e. NN /\ 4 e. NN) -> (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4))
30	28, 21, 29	mp2an 761	. . . . . 6 |- (1 <_ 4 <-> (1 - 1) < 4)
31	27, 30	mpbir 207	. . . . 5 |- 1 <_ 4
32	20, 23, 31	mpbir2an 800	. . . 4 |- 4 e. (ZZ>=` 1)
33		fsumcl 8275	. . . 4 |- ((4 e. (ZZ>=` 1) /\ A.k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC) -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
34	32, 33	mpan 759	. . 3 |- (A.k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC)
35		4re 7166	. . . . 5 |- 4 e. RR
36	35	recni 6467	. . . 4 |- 4 e. CC
37	35, 26	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 4 =/= 0
38		divcl 6901	. . . 4 |- ((sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
39	36, 37, 38	mp3an23 1183	. . 3 |- (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) e. CC -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
40	18, 34, 39	3syl 24	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. (((norm` U)` (A(+v` U)((_i^k)(.s` U)B)))^2)) / 4) e. CC)
41	6, 40	eqeltrd 1971	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  4c4 7147  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  ^cexp 7811  sum_csu 8239  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  .icip 9688

This theorem is referenced by:  ipf 9705  ipipcj 9707  ip1ilem 9826  ip2i 9828  ipasslem1 9831  ipasslem2 9832  ipasslem4 9834  ipasslem5 9835  ipasslem6 9836  ipasslem8 9838  ipasslem9 9839  ipasslem10 9840  ipasslem11 9841  ipdi 9844  ip2dii 9845  ipassr 9847  ipsubdir 9849  ipsubdi 9850  pythi 9851  siilem1 9852  siilem2 9853  siii 9854  ipblnfi 9857  ip2eqi 9858  htthlem6 9972

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689

Copyright terms: Public domain