Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cntop1 20854 |
. . 3
⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top) |
2 | 1 | 3ad2ant3 1077 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top) |
3 | | simpl3 1059 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) |
4 | | cnima 20879 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽) |
5 | 3, 4 | sylan 487 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽) |
6 | | eleq2 2677 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))) |
7 | | eleq2 2677 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤))) |
8 | 6, 7 | bibi12d 334 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (◡𝐹 “ 𝑤) → ((𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))) |
9 | 8 | rspcv 3278 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡𝐹 “ 𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))) |
10 | 5, 9 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)))) |
11 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ 𝐽 |
12 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ∪ 𝐾 =
∪ 𝐾 |
13 | 11, 12 | cnf 20860 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾) |
14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾) |
15 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐹:∪
𝐽⟶∪ 𝐾
→ 𝐹 Fn ∪ 𝐽) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹 Fn ∪ 𝐽) |
17 | | elpreima 6245 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹 Fn ∪
𝐽 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))) |
19 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) |
20 | 19 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤))) |
21 | 18, 20 | bitr4d 270 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤)) |
22 | | elpreima 6245 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹 Fn ∪
𝐽 → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
23 | 16, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
24 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝐽) |
25 | 24 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝑦 ∈ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
26 | 23, 25 | bitr4d 270 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤)) |
27 | 21, 26 | bibi12d 334 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
28 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (◡𝐹 “ 𝑤)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
29 | 10, 28 | sylibd 228 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐾) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
30 | 29 | ralrimdva 2952 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → ∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤))) |
31 | | simpl1 1057 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2) |
32 | 14, 19 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾) |
33 | 14, 24 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾) |
34 | 12 | t0sep 20938 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ ∪ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ∪ 𝐾)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))) |
35 | 31, 32, 33, 34 | syl12anc 1316 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑤 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))) |
36 | 30, 35 | syld 46 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))) |
37 | | simpl2 1058 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝐹:𝑋–1-1→𝑌) |
38 | | fdm 5964 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐹:∪
𝐽⟶∪ 𝐾
→ dom 𝐹 = ∪ 𝐽) |
39 | 14, 38 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = ∪ 𝐽) |
40 | | f1dm 6018 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐹:𝑋–1-1→𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋) |
41 | 37, 40 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋) |
42 | 39, 41 | eqtr3d 2646 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ∪ 𝐽 =
𝑋) |
43 | 19, 42 | eleqtrd 2690 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝑋) |
44 | 24, 42 | eleqtrd 2690 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
45 | | f1fveq 6420 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦)) |
46 | 37, 43, 44, 45 | syl12anc 1316 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦)) |
47 | 36, 46 | sylibd 228 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝐽)) → (∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)) |
48 | 47 | ralrimivva 2954 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦)) |
49 | 11 | ist0 20934 |
. 2
⊢ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐽∀𝑦 ∈ ∪ 𝐽(∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 = 𝑦))) |
50 | 2, 48, 49 | sylanbrc 695 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋–1-1→𝑌 ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2) |