MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fveq Structured version   Unicode version

Theorem f1fveq 6145
Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1fveq  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )

Proof of Theorem f1fveq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 6143 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  ->  C  =  D )
)
2 fveq2 5848 . 2  |-  ( C  =  D  ->  ( F `  C )  =  ( F `  D ) )
31, 2impbid1 203 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fv 5578
This theorem is referenced by:  f1elima  6146  f1dom3fv3dif  6150  cocan1  6169  isosolem  6218  f1oiso  6222  weniso  6225  f1oweALT  6757  2dom  7581  xpdom2  7605  wemapwe  8130  wemapweOLD  8131  fseqenlem1  8396  dfac12lem2  8515  infpssrlem4  8677  fin23lem28  8711  isf32lem7  8730  iundom2g  8906  canthnumlem  9015  canthwelem  9017  canthp1lem2  9020  pwfseqlem4  9029  seqf1olem1  12128  bitsinv2  14177  bitsf1  14180  sadasslem  14204  sadeq  14206  bitsuz  14208  eulerthlem2  14396  f1ocpbllem  15013  f1ovscpbl  15015  fthi  15406  ghmf1  16494  f1omvdmvd  16667  odf1  16783  dprdf1o  17274  ply1scln0  18527  zntoslem  18768  iporthcom  18843  cnt0  20014  cnhaus  20022  imasdsf1olem  21042  imasf1oxmet  21044  dyadmbl  22175  vitalilem3  22185  dvcnvlem  22543  facth1  22731  usgraidx2v  24595  wlkdvspthlem  24811  cyclnspth  24833  usgrcyclnl2  24843  erdszelem9  28907  cvmliftmolem1  28990  msubff1  29180  metf1o  30488  rngoisocnv  30624  gicabl  31288  fourierdlem50  32178  laut11  36207
  Copyright terms: Public domain W3C validator