MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fveq Structured version   Unicode version

Theorem f1fveq 5973
Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1fveq  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )

Proof of Theorem f1fveq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 5970 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  ->  C  =  D )
)
2 fveq2 5689 . 2  |-  ( C  =  D  ->  ( F `  C )  =  ( F `  D ) )
31, 2impbid1 203 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   -1-1->wf1 5413   ` cfv 5416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fv 5424
This theorem is referenced by:  f1elima  5974  f1dom3fv3dif  5978  cocan1  5993  isosolem  6036  f1oiso  6040  weniso  6043  f1oweALT  6559  2dom  7380  xpdom2  7404  wemapwe  7926  wemapweOLD  7927  fseqenlem1  8192  dfac12lem2  8311  infpssrlem4  8473  fin23lem28  8507  isf32lem7  8526  iundom2g  8702  canthnumlem  8813  canthwelem  8815  canthp1lem2  8818  pwfseqlem4  8827  seqf1olem1  11843  bitsinv2  13637  bitsf1  13640  sadasslem  13664  sadeq  13666  bitsuz  13668  eulerthlem2  13855  f1ocpbllem  14460  f1ovscpbl  14462  fthi  14826  ghmf1  15773  f1omvdmvd  15947  odf1  16061  dprdf1o  16527  ply1scln0  17741  zntoslem  17987  iporthcom  18062  cnt0  18948  cnhaus  18956  imasdsf1olem  19946  imasf1oxmet  19948  dyadmbl  21078  vitalilem3  21088  dvcnvlem  21446  facth1  21634  usgraidx2v  23309  wlkdvspthlem  23504  cyclnspth  23515  usgrcyclnl2  23525  erdszelem9  27085  cvmliftmolem1  27168  metf1o  28648  rngoisocnv  28784  gicabl  29451  laut11  33727
  Copyright terms: Public domain W3C validator