MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fveq Structured version   Unicode version

Theorem f1fveq 6151
Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1fveq  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )

Proof of Theorem f1fveq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 6149 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  ->  C  =  D )
)
2 fveq2 5852 . 2  |-  ( C  =  D  ->  ( F `  C )  =  ( F `  D ) )
31, 2impbid1 203 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   -1-1->wf1 5571   ` cfv 5574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fv 5582
This theorem is referenced by:  f1elima  6152  f1dom3fv3dif  6156  cocan1  6175  isosolem  6224  f1oiso  6228  weniso  6231  f1oweALT  6765  2dom  7586  xpdom2  7610  wemapwe  8137  wemapweOLD  8138  fseqenlem1  8403  dfac12lem2  8522  infpssrlem4  8684  fin23lem28  8718  isf32lem7  8737  iundom2g  8913  canthnumlem  9024  canthwelem  9026  canthp1lem2  9029  pwfseqlem4  9038  seqf1olem1  12120  bitsinv2  13965  bitsf1  13968  sadasslem  13992  sadeq  13994  bitsuz  13996  eulerthlem2  14184  f1ocpbllem  14793  f1ovscpbl  14795  fthi  15156  ghmf1  16164  f1omvdmvd  16337  odf1  16453  dprdf1o  16947  ply1scln0  18200  zntoslem  18462  iporthcom  18537  cnt0  19713  cnhaus  19721  imasdsf1olem  20742  imasf1oxmet  20744  dyadmbl  21875  vitalilem3  21885  dvcnvlem  22243  facth1  22431  usgraidx2v  24258  wlkdvspthlem  24474  cyclnspth  24496  usgrcyclnl2  24506  erdszelem9  28509  cvmliftmolem1  28592  msubff1  28782  metf1o  30216  rngoisocnv  30352  gicabl  31015  fourierdlem50  31824  laut11  35512
  Copyright terms: Public domain W3C validator