Theorem limcresi 23455

Description: Any limit of 𝐹 is also a limit of the restriction of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcresi	⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Proof of Theorem limcresi

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 23444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2	1	simp1d 1066	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1	simp2d 1067	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4	1	simp3d 1068	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6	2, 3, 4, 5	ellimc2 23447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
7	6	ibi 255	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
8		inss2 3796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})
9		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ 𝐶)
10		inss2 3796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
11	9, 10	sstri 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐶
12	8, 11	sstri 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶
13		resima2 5352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})))
15		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹
16		ssdif 3707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ dom 𝐹 → ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})
18		sslin 3801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}) ⊆ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}) → (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
19		imass2 5420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})) → (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))))
20	17, 18, 19	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
21	14, 20	eqsstri 3598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵})))
22		sstr 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
23	21, 22	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 → ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)
24	23	anim2i 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → (𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
25	24	reximi 2994	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
26	25	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → (𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
27	26	ralimi 2936	. . . . 5 ⊢ (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
28	27	anim2i 591	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ (𝐹 “ (𝑣 ∩ (dom 𝐹 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
29	7, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))))
30		fresin 5986	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
31	2, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐶):(dom 𝐹 ∩ 𝐶)⟶ℂ)
32	15, 3	syl5ss 3579	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (dom 𝐹 ∩ 𝐶) ⊆ ℂ)
33	31, 32, 4, 5	ellimc2 23447	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝑥 ∈ 𝑢 → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘ℂfld)(𝐵 ∈ 𝑣 ∧ ((𝐹 ↾ 𝐶) “ (𝑣 ∩ ((dom 𝐹 ∩ 𝐶) ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
34	29, 33	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵))
35	34	ssriv 3572	1 ⊢ (𝐹 limℂ 𝐵) ⊆ ((𝐹 ↾ 𝐶) limℂ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567   lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436

This theorem is referenced by:  limciun  23464  dvres2lem  23480  dvidlem  23485  dvcnp2  23489  dvcobr  23515  dvcnvlem  23543  lhop1lem  23580  lhop2  23582  lhop  23583  taylthlem2  23932  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem46  39045  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem84  39083  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fouriercnp  39119  fouriercn  39125