MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Unicode version

Theorem limcresi 21202
Description: Any limit of  F is also a limit of the restriction of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )

Proof of Theorem limcresi
Dummy variables  v  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 21191 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp1d 993 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  F : dom  F --> CC )
31simp2d 994 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  dom  F 
C_  CC )
41simp3d 995 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
5 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
62, 3, 4, 5ellimc2 21194 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) ) )
76ibi 241 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) )
8 inss2 3559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
)
9 difss 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  i^i  C )
10 inss2 3559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_  C
119, 10sstri 3353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  C
128, 11sstri 3353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  C
13 resima2 5131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  C  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  =  ( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )  =  ( F "
( v  i^i  (
( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )
15 inss1 3558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_ 
dom  F
16 ssdif 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  C_  dom  F  -> 
( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )
18 sslin 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )  ->  (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( dom  F 
\  { B }
) ) )
19 imass2 5192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) )  -> 
( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
2114, 20eqsstri 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
22 sstr 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2321, 22mpan 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2423anim2i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u
)  ->  ( B  e.  v  /\  (
( F  |`  C )
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2524reximi 2813 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) 
C_  u )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2625imim2i 14 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2726ralimi 2781 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2827anim2i 564 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
297, 28syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
30 fresin 5568 . . . . 5  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
312, 30syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
3215, 3syl5ss 3355 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( dom  F  i^i  C ) 
C_  CC )
3331, 32, 4, 5ellimc2 21194 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
3429, 33mpbird 232 . 2  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B ) )
3534ssriv 3348 1  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3313    i^i cin 3315    C_ wss 3316   {csn 3865   dom cdm 4827    |` cres 4829   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   TopOpenctopn 14343  ℂfldccnfld 17662   lim CC climc 21179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-rest 14344  df-topn 14345  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cnp 18674  df-xms 19737  df-ms 19738  df-limc 21183
This theorem is referenced by:  limciun  21211  dvres2lem  21227  dvidlem  21232  dvcnp2  21236  dvcobr  21262  dvcnvlem  21290  lhop1lem  21327  lhop2  21329  lhop  21330  taylthlem2  21724
  Copyright terms: Public domain W3C validator