MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcresi Structured version   Unicode version

Theorem limcresi 22717
Description: Any limit of  F is also a limit of the restriction of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcresi  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )

Proof of Theorem limcresi
Dummy variables  v  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 22706 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  B  e.  CC ) )
21simp1d 1017 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  F : dom  F --> CC )
31simp2d 1018 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  dom  F 
C_  CC )
41simp3d 1019 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  B  e.  CC )
5 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
62, 3, 4, 5ellimc2 22709 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) ) )
76ibi 244 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) ) )
8 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
)
9 difss 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  i^i  C )
10 inss2 3689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_  C
119, 10sstri 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  C
128, 11sstri 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  i^i  ( ( dom 
F  i^i  C )  \  { B } ) )  C_  C
13 resima2 5158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  C  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  =  ( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )  =  ( F "
( v  i^i  (
( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) )
15 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom 
F  i^i  C )  C_ 
dom  F
16 ssdif 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  C_  dom  F  -> 
( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )
18 sslin 3694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } )  C_  ( dom  F  \  { B } )  ->  (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) )  C_  (
v  i^i  ( dom  F 
\  { B }
) ) )
19 imass2 5224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C
)  \  { B } ) )  C_  ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) )  -> 
( F " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) )
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
2114, 20eqsstri 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )
22 sstr 3478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2321, 22mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u  ->  ( ( F  |`  C ) " (
v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C ) 
\  { B }
) ) )  C_  u )
2423anim2i 571 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  v  /\  ( F " ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u
)  ->  ( B  e.  v  /\  (
( F  |`  C )
" ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2524reximi 2900 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  ( TopOpen ` fld )
( B  e.  v  /\  ( F "
( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) ) 
C_  u )  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) )
2625imim2i 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen
` fld
) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2726ralimi 2825 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
)  ->  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) )
2827anim2i 571 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( F
" ( v  i^i  ( dom  F  \  { B } ) ) )  C_  u )
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
297, 28syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld )
( x  e.  u  ->  E. v  e.  (
TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) )
30 fresin 5769 . . . . 5  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
312, 30syl 17 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( F  |`  C ) : ( dom  F  i^i  C ) --> CC )
3215, 3syl5ss 3481 . . . 4  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  ( dom  F  i^i  C ) 
C_  CC )
3331, 32, 4, 5ellimc2 22709 . . 3  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  (
x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )  <->  ( x  e.  CC  /\  A. u  e.  ( TopOpen ` fld ) ( x  e.  u  ->  E. v  e.  ( TopOpen ` fld ) ( B  e.  v  /\  ( ( F  |`  C ) " ( v  i^i  ( ( dom  F  i^i  C )  \  { B } ) ) ) 
C_  u ) ) ) ) )
3429, 33mpbird 235 . 2  |-  ( x  e.  ( F lim CC  B )  ->  x  e.  ( ( F  |`  C ) lim CC  B ) )
3534ssriv 3474 1  |-  ( F lim
CC  B )  C_  ( ( F  |`  C ) lim CC  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   {csn 4002   dom cdm 4854    |` cres 4856   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   TopOpenctopn 15279  ℂfldccnfld 18905   lim CC climc 22694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-rest 15280  df-topn 15281  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cnp 20175  df-xms 21266  df-ms 21267  df-limc 22698
This theorem is referenced by:  limciun  22726  dvres2lem  22742  dvidlem  22747  dvcnp2  22751  dvcobr  22777  dvcnvlem  22805  lhop1lem  22842  lhop2  22844  lhop  22845  taylthlem2  23194  fourierdlem32  37573  fourierdlem33  37574  fourierdlem46  37587  fourierdlem74  37615  fourierdlem75  37616  fourierdlem84  37625  fourierdlem85  37626  fourierdlem88  37629  fouriercnp  37661  fouriercn  37667
  Copyright terms: Public domain W3C validator