Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvidlem 23485
 Description: Lemma for dvid 23487 and dvconst 23486. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvidlem.1 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
dvidlem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
dvidlem.3 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
dvidlem (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧

Proof of Theorem dvidlem
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23478 . . . 4 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssid 3587 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
4 dvidlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
53, 4, 3dvbss 23471 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ ℂ)
6 reldv 23440 . . . . . . . . 9 Rel (ℂ D 𝐹)
7 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
98cnfldtop 22397 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
108cnfldtopon 22396 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110toponunii 20547 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1211ntrtop 20684 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
147, 13syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ))
15 limcresi 23455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥) ⊆ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥)
16 dvidlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ℂ ⊆ ℂ)
19 cncfmptc 22522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2017, 18, 18, 19syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑥𝐵 = 𝐵)
2220, 7, 21cnmptlimc 23460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) lim 𝑥))
2315, 22sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
24 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥))
25 dvidlem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
26253exp2 1277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ → (𝑧𝑥 → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵))))
2726imp43 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2824, 27sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 𝐵)
2928mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
30 difss 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ
31 resmpt 5369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℂ ∖ {𝑥}) ⊆ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ 𝐵)
3329, 32syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})))
3433oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = (((𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝐵) ↾ (ℂ ∖ {𝑥})) lim 𝑥))
3523, 34eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
3611restid 15917 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
379, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
3837eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
39 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
404adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
4138, 8, 39, 18, 40, 18eldv 23468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
4214, 35, 41mpbir2and 959 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵)
43 releldm 5279 . . . . . . . . 9 ((Rel (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
446, 42, 43sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
4544ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)))
4645ssrdv 3574 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
475, 46eqssd 3585 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = ℂ)
4847feq2d 5944 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ))
491, 48mpbii 222 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ)
50 ffn 5958 . . 3 ((ℂ D 𝐹):ℂ⟶ℂ → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
5149, 50syl 17 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) Fn ℂ)
52 fnconstg 6006 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
5316, 52mp1i 13 . 2 (𝜑 → (ℂ × {𝐵}) Fn ℂ)
54 ffun 5961 . . . . . 6 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
551, 54mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → Fun (ℂ D 𝐹))
56 funbrfvb 6148 . . . . 5 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℂ D 𝐹)) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5755, 44, 56syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵𝑥(ℂ D 𝐹)𝐵))
5842, 57mpbird 246 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = 𝐵)
5916a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
60 fvconst2g 6372 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6159, 60sylan 487 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐵})‘𝑥) = 𝐵)
6258, 61eqtr4d 2647 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ × {𝐵})‘𝑥))
6351, 53, 62eqfnfvd 6222 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ × {𝐵}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   − cmin 10145   / cdiv 10563   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvconst  23486  dvid  23487
 Copyright terms: Public domain W3C validator