Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvconst 23486
 Description: Derivative of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvconst (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))

Proof of Theorem dvconst
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6007 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
2 simpr2 1061 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 fvconst2g 6372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑧) = 𝐴)
42, 3syldan 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑧) = 𝐴)
5 fvconst2g 6372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
653ad2antr1 1219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → ((ℂ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
74, 6oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) = (𝐴𝐴))
8 subid 10179 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝐴𝐴) = 0)
107, 9eqtrd 2644 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) = 0)
1110oveq1d 6564 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → ((((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (0 / (𝑧𝑥)))
12 simpr1 1060 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
132, 12subcld 10271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
14 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → 𝑧𝑥)
152, 12, 14subne0d 10280 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (𝑧𝑥) ≠ 0)
1613, 15div0d 10679 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → (0 / (𝑧𝑥)) = 0)
1711, 16eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧𝑥)) → ((((ℂ × {𝐴})‘𝑧) − ((ℂ × {𝐴})‘𝑥)) / (𝑧𝑥)) = 0)
18 0cn 9911 . 2 0 ∈ ℂ
191, 17, 18dvidlem 23485 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145   / cdiv 10563   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvcmul  23513  dvcmulf  23514  dvexp2  23523  dvmptc  23527  dvef  23547  dvsconst  37551  binomcxplemnotnn0  37577
 Copyright terms: Public domain W3C validator