MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptlimc 23460
Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷))
cnmptlimc.b (𝜑𝐵𝐴)
cnmptlimc.1 (𝑥 = 𝐵𝑋 = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 cnmptlimc.b . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
2 cnmptlimc.f . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷))
3 cncff 22504 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑋) ∈ (𝐴cn𝐷) → (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
5 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝑋) = (𝑥𝐴𝑋)
65fmpt 6289 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝑋𝐷 ↔ (𝑥𝐴𝑋):𝐴𝐷)
74, 6sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑋𝐷)
8 cnmptlimc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵𝑋 = 𝑌)
98eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑋𝐷𝑌𝐷))
109rspcv 3278 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑋𝐷𝑌𝐷))
111, 7, 10sylc 63 . . 3 (𝜑𝑌𝐷)
128, 5fvmptg 6189 . . 3 ((𝐵𝐴𝑌𝐷) → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) = 𝑌)
131, 11, 12syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) = 𝑌)
142, 1cnlimci 23459 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑋)‘𝐵) ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
1513, 14eqeltrrd 2689 1 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥𝐴𝑋) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cnccncf 22487   lim climc 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436
This theorem is referenced by:  dvidlem  23485  dvcnp2  23489  dvmulbr  23508  dvrec  23524  lhop1lem  23580  lhop2  23582  taylthlem2  23932  fourierdlem62  39061  fourierdlem73  39072  fourierdlem76  39075
  Copyright terms: Public domain W3C validator