MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restid 15917
Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restid.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
restid (𝐽𝑉 → (𝐽t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid
StepHypRef Expression
1 restid.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
2 uniexg 6853 . . 3 (𝐽𝑉 𝐽 ∈ V)
31, 2syl5eqel 2692 . 2 (𝐽𝑉𝑋 ∈ V)
41eqimss2i 3623 . . 3 𝐽𝑋
5 sspwuni 4547 . . 3 (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 𝐽𝑋)
64, 5mpbir 220 . 2 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7 restid2 15914 . 2 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽t 𝑋) = 𝐽)
83, 6, 7sylancl 693 1 (𝐽𝑉 → (𝐽t 𝑋) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108   cuni 4372  (class class class)co 6549  t crest 15904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-rest 15906
This theorem is referenced by:  restin  20780  cnrmnrm  20975  cmpkgen  21164  xkopt  21268  xkoinjcn  21300  ussid  21874  tuslem  21881  cnperf  22431  retopcon  22440  cncfcn1  22521  cncfmpt2f  22525  cdivcncf  22528  abscncfALT  22531  cnmpt2pc  22535  cnrehmeo  22560  cnlimc  23458  recnperf  23475  dvidlem  23485  dvcnp2  23489  dvcn  23490  dvnres  23500  dvaddbr  23507  dvmulbr  23508  dvcobr  23515  dvcjbr  23518  dvrec  23524  dvexp3  23545  dveflem  23546  dvlipcn  23561  lhop1lem  23580  ftc1cn  23610  dvply1  23843  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  psercn  23984  pserdvlem2  23986  pserdv  23987  abelth  23999  logcn  24193  dvloglem  24194  dvlog  24197  dvlog2  24199  efopnlem2  24203  logtayl  24206  cxpcn  24286  cxpcn2  24287  cxpcn3  24289  resqrtcn  24290  sqrtcn  24291  dvatan  24462  ftalem3  24601  retopscon  30485  ivthALT  31500  knoppcnlem10  31662  knoppcnlem11  31663  dvtan  32630  ftc1cnnc  32654  dvasin  32666  dvacos  32667  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  fsumcncf  38763  ioccncflimc  38771  cncfuni  38772  icocncflimc  38775  cncfiooicclem1  38779  cxpcncf2  38786  itgsubsticclem  38867  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem62  39061  fourierdlem93  39092  fourierdlem101  39100
  Copyright terms: Public domain W3C validator