Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eldmg 5241 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)) |
2 | 1 | ibi 255 |
. 2
⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) |
3 | | simpl2 1058 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
4 | 3 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
5 | | dvcnp.k |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐾 =
(TopOpen‘ℂfld) |
6 | 5 | cnfldtop 22397 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝐾 ∈ Top |
7 | | simpl1 1057 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ) |
8 | | cnex 9896 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ℂ
∈ V |
9 | | ssexg 4732 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ
∈ V) → 𝑆 ∈
V) |
10 | 7, 8, 9 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V) |
11 | | resttop 20774 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top) |
12 | 6, 10, 11 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top) |
13 | | simpl3 1059 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑆) |
14 | 5 | cnfldtopon 22396 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐾 ∈
(TopOn‘ℂ) |
15 | | resttopon 20775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
∧ 𝑆 ⊆ ℂ)
→ (𝐾
↾t 𝑆)
∈ (TopOn‘𝑆)) |
16 | 14, 7, 15 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆)) |
17 | | toponuni 20542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) |
19 | 13, 18 | sseqtrd 3604 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾t 𝑆)) |
20 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ∪ (𝐾
↾t 𝑆) =
∪ (𝐾 ↾t 𝑆) |
21 | 20 | ntrss2 20671 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐾 ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾
↾t 𝑆))
→ ((int‘(𝐾
↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴) |
22 | 12, 19, 21 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴) |
23 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐾 ↾t 𝑆) = (𝐾 ↾t 𝑆) |
24 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) |
25 | | simp1 1054 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ) |
26 | | simp2 1055 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
27 | | simp3 1056 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆) |
28 | 23, 5, 24, 25, 26, 27 | eldv 23468 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵)))) |
29 | 28 | simprbda 651 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾t 𝑆))‘𝐴)) |
30 | 22, 29 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴) |
31 | 3, 30 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) |
32 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) |
33 | 4, 32 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ) |
34 | | ssid 3587 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
35 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆
ℂ) |
36 | | txtopon 21204 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
∧ 𝐾 ∈
(TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ ×
ℂ))) |
37 | 14, 14, 36 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ
× ℂ)) |
38 | 37 | toponunii 20547 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℂ
× ℂ) = ∪ (𝐾 ×t 𝐾) |
39 | 38 | restid 15917 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ
× ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ ×
ℂ)) = (𝐾
×t 𝐾)) |
40 | 37, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ
× ℂ)) = (𝐾
×t 𝐾) |
41 | 40 | eqcomi 2619 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ ×
ℂ)) |
42 | 13, 7 | sstrd 3578 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ) |
43 | 3, 42, 30 | dvlem 23466 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ) |
44 | 42 | ssdifssd 3710 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ) |
45 | 44 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ) |
46 | 42, 30 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ) |
47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ) |
48 | 45, 47 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ) |
49 | 28 | simplbda 652 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵)) |
50 | | limcresi 23455 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) |
51 | | difss 3699 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 |
52 | | resmpt 5369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵))) |
53 | 51, 52 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) |
54 | 53 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) |
55 | 50, 54 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵) |
56 | 46 | subidd 10259 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) = 0) |
57 | 5 | subcn 22477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ −
∈ ((𝐾
×t 𝐾) Cn
𝐾) |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)) |
59 | | cncfmptid 22523 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ
⊆ ℂ) → (𝑧
∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
60 | 42, 34, 59 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
61 | | cncfmptc 22522 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ
⊆ ℂ) → (𝑧
∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
62 | 46, 42, 35, 61 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
63 | 5, 58, 60, 62 | cncfmpt2f 22525 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
64 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵)) |
65 | 63, 30, 64 | cnmptlimc 23460 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵)) |
66 | 56, 65 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵)) |
67 | 55, 66 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) limℂ 𝐵)) |
68 | 5 | mulcn 22478 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ·
∈ ((𝐾
×t 𝐾) Cn
𝐾) |
69 | 25, 26, 27 | dvcl 23469 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ) |
70 | | 0cn 9911 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℂ |
71 | | opelxpi 5072 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈
ℂ) → 〈𝑦,
0〉 ∈ (ℂ × ℂ)) |
72 | 69, 70, 71 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 〈𝑦, 0〉 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
73 | 38 | cncnpi 20892 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((
· ∈ ((𝐾
×t 𝐾) Cn
𝐾) ∧ 〈𝑦, 0〉 ∈ (ℂ
× ℂ)) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘〈𝑦, 0〉)) |
74 | 68, 72, 73 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘〈𝑦, 0〉)) |
75 | 43, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74 | limccnp2 23462 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵)) |
76 | 69 | mul01d 10114 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0) |
77 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
78 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) |
79 | 51, 78 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ 𝐴) |
80 | 77, 79 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
81 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) |
82 | 80, 81 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ) |
83 | | eldifsni 4261 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧 ≠ 𝐵) |
84 | 83 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ≠ 𝐵) |
85 | 45, 47, 84 | subne0d 10280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ≠ 0) |
86 | 82, 48, 85 | divcan1d 10681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) |
87 | 86 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))) |
88 | 87 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)) |
89 | 75, 76, 88 | 3eltr3d 2702 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)) |
90 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) |
91 | 33, 90 | fmptd 6292 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))):𝐴⟶ℂ) |
92 | 91 | limcdif 23446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵)) |
93 | | resmpt 5369 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))) |
94 | 51, 93 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) |
95 | 94 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) |
96 | 92, 95 | syl6eq 2660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)) |
97 | 89, 96 | eleqtrrd 2691 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)) |
98 | | cncfmptc 22522 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑧 ∈
𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
99 | 31, 42, 35, 98 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) |
100 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)) |
101 | 99, 30, 100 | cnmptlimc 23460 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) limℂ 𝐵)) |
102 | 5 | addcn 22476 |
. . . . . . . . 9
⊢ + ∈
((𝐾 ×t
𝐾) Cn 𝐾) |
103 | | opelxpi 5072 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → 〈0, (𝐹‘𝐵)〉 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
104 | 70, 31, 103 | sylancr 694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 〈0, (𝐹‘𝐵)〉 ∈ (ℂ ×
ℂ)) |
105 | 38 | cncnpi 20892 |
. . . . . . . . 9
⊢ (( +
∈ ((𝐾
×t 𝐾) Cn
𝐾) ∧ 〈0, (𝐹‘𝐵)〉 ∈ (ℂ × ℂ))
→ + ∈ (((𝐾
×t 𝐾) CnP
𝐾)‘〈0, (𝐹‘𝐵)〉)) |
106 | 102, 104,
105 | sylancr 694 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘〈0, (𝐹‘𝐵)〉)) |
107 | 33, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106 | limccnp2 23462 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵)) |
108 | 31 | addid2d 10116 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵)) |
109 | 4, 32 | npcand 10275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝑧)) |
110 | 109 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧))) |
111 | 3 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧))) |
112 | 110, 111 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = 𝐹) |
113 | 112 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) limℂ 𝐵) = (𝐹 limℂ 𝐵)) |
114 | 107, 108,
113 | 3eltr3d 2702 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) |
115 | | dvcnp.j |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴) |
116 | 5, 115 | cnplimc 23457 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))) |
117 | 42, 30, 116 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))) |
118 | 3, 114, 117 | mpbir2and 959 |
. . . . 5
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) |
119 | 118 | ex 449 |
. . . 4
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))) |
120 | 119 | exlimdv 1848 |
. . 3
⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))) |
121 | 120 | imp 444 |
. 2
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) |
122 | 2, 121 | sylan2 490 |
1
⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) |