Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem88 39087
 Description: Given a piecewise continuous function 𝐹, a continuous function 𝐾 and a continuous function 𝑆, the function 𝐺 is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem88.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem88.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem88.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem88.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem88.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem88.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem88.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem88.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem88.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem88.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem88.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem88.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem88.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem88.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
fourierdlem88.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem88.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem88.ifn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem88.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem88.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑁(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑠,𝑝)   𝑉(𝑚)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem88.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 pire 24014 . . . . 5 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
54renegcld 10336 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
87fourierdlem2 39002 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
106, 9mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
1110simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
12 elmapi 7765 . . . . 5 (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 frn 5966 . . . . 5 (𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
1411, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝜑 → ran 𝑉 ⊆ ℝ)
15 fourierdlem88.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
1614, 15sseldd 3569 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
17 fourierdlem88.q . . 3 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 39014 . 2 (𝜑𝑄 ∈ (𝑂𝑀))
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
20 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
2219, 21fssresd 5984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
23 ax-resscn 9872 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2421, 23syl6ss 3580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
25 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
26 pnfxr 9971 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
2816ltpnfd 11831 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 < +∞)
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 38713 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
3122, 24, 29, 30limcrecl 38696 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
32 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
3419, 33fssresd 5984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
3533, 23syl6ss 3580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
36 mnfxr 9975 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
3816mnfltd 11834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 38712 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
4134, 35, 39, 40limcrecl 38696 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 39054 . . . . . 6 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
4645fnvinran 38196 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
4948fourierdlem5 39005 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5047, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
5150ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
5246, 51remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
5352recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℂ)
54 fourierdlem88.g . . 3 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
5553, 54fmptd 6292 . 2 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℂ)
56 ssid 3587 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
57 cncfss 22510 . . . 4 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5823, 56, 57mp2an 704 . . 3 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ) ⊆ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)
5919adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
601, 2, 18fourierdlem15 39015 . . . . . 6 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
6160adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
62 elfzofz 12354 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6362adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
6461, 63ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ (-π[,]π))
65 fzofzp1 12431 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6665adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
6761, 66ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ (-π[,]π))
6816adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
697, 2, 6, 15fourierdlem12 39012 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
7068recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
7170addid2d 10116 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 + 𝑋) = 𝑋)
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ)
7372renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ)
7473, 68readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (-π + 𝑋) ∈ ℝ)
7572, 68readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (π + 𝑋) ∈ ℝ)
7674, 75iccssred 38574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)) ⊆ ℝ)
777, 2, 6fourierdlem15 39015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
7978, 63ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
8076, 79sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℝ)
8180, 68resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
8217fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑉𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8363, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
8483oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
8580recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉𝑖) ∈ ℂ)
8685, 70npcand 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
8784, 86eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) + 𝑋) = (𝑉𝑖))
88 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑗 → (𝑉𝑖) = (𝑉𝑗))
8988oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9089cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9117, 90eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋))
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)))
93 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → 𝑗 = (𝑖 + 1))
9493fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → (𝑉𝑗) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
9594oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
9678, 66ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ((-π + 𝑋)[,](π + 𝑋)))
9776, 96sseldd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9897, 68resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
9992, 95, 66, 98fvmptd 6197 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = ((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
10099oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
10197recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
102101, 70npcand 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑉‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
103100, 102eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (𝑉‘(𝑖 + 1)))
10487, 103oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) = ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1))))
10571, 104eleq12d 2682 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
10669, 105mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋)))
107 0red 9920 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
10883, 81eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
10999, 98eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
110107, 108, 109, 68eliooshift 38576 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (0 + 𝑋) ∈ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))))
111106, 110mtbird 314 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 0 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
113104reseq2d 5317 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) = (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))))
114104oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ) = (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
115112, 113, 1143eltr4d 2703 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ (((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))) ∈ ((((𝑄𝑖) + 𝑋)(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))–cn→ℂ))
11631adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑌 ∈ ℝ)
11741adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ ℝ)
11847adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 39077 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
12058, 119sseldi 3566 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
121 eqid 2610 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠))
122 eqid 2610 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠))
123 eqid 2610 . . . 4 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
1243renegcli 10221 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ
125124rexri 9976 . . . . . . . . . 10 -π ∈ ℝ*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → -π ∈ ℝ*)
1273rexri 9976 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → π ∈ ℝ*)
12961adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
130 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 39008 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
132 ioossicc 12130 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
133132sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
134133adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))))
135131, 134sseldd 3569 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 39009 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
137136ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
138137, 135ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
13943fourierdlem43 39043 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
141140, 135ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
142138, 141remulcld 9949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
14344fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
144135, 142, 143syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
145144, 142eqeltrd 2688 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
146145recnd 9947 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
14747, 48fourierdlem18 39018 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
148 cncff 22504 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
150149adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
151150adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
152151, 135ffvelrnd 6268 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
153152recnd 9947 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑆𝑠) ∈ ℂ)
154 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠))
155 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠))
156 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
157138recnd 9947 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
158141recnd 9947 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
163161, 162fssd 5970 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
165 eqid 2610 . . . . . . . 8 if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) = if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖)))
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 39074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
167136adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
170 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 39008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
172132, 171syl5ss 3579 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
173167, 172feqresmpt 6160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
174173oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
175166, 174eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
176 limcresi 23455 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
17743fourierdlem62 39061 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
179178, 64cnlimci 23459 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝐾 lim (𝑄𝑖)))
180176, 179sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
182181, 172feqresmpt 6160 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)))
183182oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
184180, 183eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 38683 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
186144eqcomd 2616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = (𝑈𝑠))
187186mpteq2dva 4672 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)))
188187oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
189185, 188eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
190 limcresi 23455 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄𝑖)) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))
191147adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
192191, 64cnlimci 23459 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ (𝑆 lim (𝑄𝑖)))
193190, 192sseldi 3566 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
194150, 172feqresmpt 6160 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)))
195194oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
196193, 195eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄𝑖)) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄𝑖)))
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 38683 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)))
19852, 54fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
199198adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
200199, 172feqresmpt 6160 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
201145, 152remulcld 9949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
20254fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
203135, 201, 202syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
204203mpteq2dva 4672 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))))
205200, 204eqtr2d 2645 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
206205oveq1d 6564 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
207197, 206eleqtrd 2690 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉𝑖) = 𝑋, 𝐷, ((𝑅 − if((𝑉𝑖) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄𝑖))) · (𝐾‘(𝑄𝑖))) · (𝑆‘(𝑄𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
210 eqid 2610 . . . . . . . 8 if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) = if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1))))
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 39073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
212173oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
213211, 212eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
214 limcresi 23455 . . . . . . . 8 (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
215178, 67cnlimci 23459 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝐾 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
216214, 215sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
217182oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐾 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
218216, 217eleqtrd 2690 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐾𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 38683 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
220187oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
221219, 220eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑈𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
222 limcresi 23455 . . . . . 6 (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))
223191, 67cnlimci 23459 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ (𝑆 lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
224222, 223sseldi 3566 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
225194oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑆 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
226224, 225eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑆𝑠)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 38683 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
228205oveq1d 6564 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
229227, 228eleqtrd 2690 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((if((𝑉‘(𝑖 + 1)) = 𝑋, 𝐶, ((𝐿 − if((𝑉‘(𝑖 + 1)) < 𝑋, 𝑊, 𝑌)) / (𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝐾‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) · (𝑆‘(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 39068 1 (𝜑𝐺 ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  sincsin 14633  πcpi 14636  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  –cn→ccncf 22487  𝐿1cibl 23192   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fourierdlem95  39094  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103
 Copyright terms: Public domain W3C validator