MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfltd 11834
Description: Minus infinity is less than any (finite) real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mnfltd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mnfltd (𝜑 → -∞ < 𝐴)

Proof of Theorem mnfltd
StepHypRef Expression
1 mnfltd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mnflt 11833 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  cr 9814  -∞cmnf 9951   < clt 9953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  infxrre  12038  caucvgrlem  14251  areacirclem5  32674  infleinflem2  38528  xrralrecnnge  38554  icoopn  38598  icomnfinre  38626  ressiocsup  38628  ressioosup  38629  limciccioolb  38688  limsupre  38708  limcresioolb  38710  limcleqr  38711  fourierdlem32  39032  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem74  39073  fourierdlem88  39087  fourierdlem95  39094  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fouriersw  39124  ioorrnopnxrlem  39202  hspdifhsp  39506  hspmbllem2  39517  pimltmnf2  39588  pimgtmnf2  39601
  Copyright terms: Public domain W3C validator