hspdifhsp - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem hspdifhsp 39506

Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hspdifhsp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hspdifhsp.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hspdifhsp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hspdifhsp.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))

**Assertion**
Ref	Expression
hspdifhsp	⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦 𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦 𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦 𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦 𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦

Proof of Theorem hspdifhsp Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
2		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖𝑓
3		nfixp1 7814	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))
4	2, 3	nfel 2763	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))
5	1, 4	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
6		ixpfn 7800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
7	6	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
8		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑖))
9	8	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) = (-∞(,)(𝐵‘𝑖)))
10		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐵‘𝑖)))
11	9, 10	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
12		eqimss 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-∞(,)(𝐵‘𝑘)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) → (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
14		ioossre 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ℝ
15		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) = ℝ)
16	14, 15	syl5sseqr 3617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
17	13, 16	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-∞(,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ)
18		mnfxr 9975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ^*
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → -∞ ∈ ℝ^*)
20		hspdifhsp.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
21	20	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
22	21	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ^*)
23	22	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ^*)
24		hspdifhsp.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
25	24	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
26		icossre 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ^*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ℝ)
27	25, 22, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ℝ)
28	27	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ℝ)
29		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
30		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
31		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘𝑖) = (𝐴‘𝑘))
32		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐵‘𝑖) = (𝐵‘𝑘))
33	31, 32	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
34	33	fvixp 7799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
35	29, 30, 34	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
36	35	adantll 746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
37	28, 36	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
38	37	mnfltd 11834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → -∞ < (𝑓‘𝑘))
39	25	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ^*)
40	39	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ^*)
41		icoltub 38579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ^* ∧ (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) → (𝑓‘𝑘) < (𝐵‘𝑘))
42	40, 23, 36, 41	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) < (𝐵‘𝑘))
43	19, 23, 37, 38, 42	eliood 38567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐵‘𝑘)))
44	17, 43	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
45	44	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
46	45	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
47	7, 46	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ)))
48		vex 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑓 ∈ V
49	48	elixp 7801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ)))
50	47, 49	sylibr 223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
51		hspdifhsp.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
52		equequ1 1939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 = 𝑙 ↔ 𝑘 = 𝑙))
53	52	ifbid 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
54	53	cbvixpv 7812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
56	55	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
57	56	mpteq2i 4669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
58	51, 57	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑘 ∈ 𝑥 if(𝑘 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
59		hspdifhsp.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
61		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
62	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
63	62, 61	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ)
64	58, 60, 61, 63	hspval 39499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) = X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
65	64	adantlr 747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) = X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
66	50, 65	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)))
67	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → -∞ ∈ ℝ^*)
68	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
69	68, 61	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
70	69	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^*)
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^*)
72		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
73	58, 60, 61, 69	hspval 39499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) = X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) = X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
75	72, 74	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
76	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → 𝑖 ∈ 𝑋)
77		iftrue 4042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) = (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
78	77	fvixp 7799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
79	75, 76, 78	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
80		iooltub 38582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖))) → (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
81	67, 71, 79, 80	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
82	81	adantllr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
83	70	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^*)
84	63	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^*)
85	84	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^*)
86	48	elixp 7801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))))
87	86	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))))
88	87	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
89		rspa 2914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
90	88, 89	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
91	90	adantll 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
92		icogelb 12096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) → (𝐴‘𝑖) ≤ (𝑓‘𝑖))
93	83, 85, 91, 92	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ≤ (𝑓‘𝑖))
94	69	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
95		icossre 12125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴‘𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^*) → ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ⊆ ℝ)
96	69, 84, 95	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ⊆ ℝ)
97	96	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ⊆ ℝ)
98	97, 91	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ℝ)
99	94, 98	lenltd 10062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝑓‘𝑖) ↔ ¬ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)))
100	93, 99	mpbid 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → ¬ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
102	82, 101	pm2.65da 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
103	66, 102	eldifd 3551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
104	103	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) → (𝑖 ∈ 𝑋 → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
105	5, 104	ralrimi 2940	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
106		eliin 4461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V → (𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
107	48, 106	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
108	105, 107	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
109	108	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
110		hspdifhsp.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
111		n0 3890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑋)
112	111	biimpi 205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑋)
113	110, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑋)
114	113	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → ∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑋)
115		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
116		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
117		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑖 = 𝑘)
118	117, 32	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) = (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)))
119	117, 31	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)) = (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑘)))
120	118, 119	difeq12d 3691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) = ((𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑘))))
121	120	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ↔ 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑘)))))
122	115, 116, 121	eliind 38266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)) ∖ (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑘))))
123	122	eldifad 3552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)))
124	123	adantll 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)))
125		equequ1 1939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 = ℎ → (𝑖 = 𝑙 ↔ ℎ = 𝑙))
126	125	ifbid 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = ℎ → if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
127	126	cbvixpv 7812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = Xℎ ∈ 𝑥 if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑙 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ) = Xℎ ∈ 𝑥 if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
129	128	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)) = (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xℎ ∈ 𝑥 if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))
130	129	mpteq2i 4669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖 ∈ 𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ))) = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xℎ ∈ 𝑥 if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
131	51, 130	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙 ∈ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ Xℎ ∈ 𝑥 if(ℎ = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
132	59	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
133		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
134	21	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
135	131, 132, 133, 134	hspval 39499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑘(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑘)) = Xℎ ∈ 𝑋 if(ℎ = 𝑘, (-∞(,)(𝐵‘𝑘)), ℝ))
136	124, 135	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ Xℎ ∈ 𝑋 if(ℎ = 𝑘, (-∞(,)(𝐵‘𝑘)), ℝ))
137		ixpfn 7800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ Xℎ ∈ 𝑋 if(ℎ = 𝑘, (-∞(,)(𝐵‘𝑘)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
139	138	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → (𝑘 ∈ 𝑋 → 𝑓 Fn 𝑋))
140	139	exlimdv 1848	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → (∃𝑘 𝑘 ∈ 𝑋 → 𝑓 Fn 𝑋))
141	114, 140	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → 𝑓 Fn 𝑋)
142		nfii1 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
143	2, 142	nfel 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
144	1, 143	nfan 1816	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
145		simpll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝜑)
146	107	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
147	146	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
148		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
149		rspa 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
150	147, 148, 149	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
151	150	adantll 746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))
152		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
153	70	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^*)
154	84	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^*)
155		simpll 786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝜑)
156		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)))
157	156	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)))
158		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
159		ioossre 12106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-∞(,)(𝐵‘𝑖)) ⊆ ℝ
160		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)))
161	64	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) = X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
162	160, 161	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
163		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ 𝑋)
164	10	fvixp 7799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵‘𝑖)))
165	162, 163, 164	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵‘𝑖)))
166	159, 165	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ℝ)
167	155, 157, 158, 166	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ℝ)
168	167	rexrd 9968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ℝ^*)
169		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → 𝜑)
170	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)))
171	169, 170	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))))
172	171	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))))
173		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → 𝑖 ∈ 𝑋)
174		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
175		ixpfn 7800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) → 𝑓 Fn 𝑋)
176	162, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → 𝑓 Fn 𝑋)
177	176	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → 𝑓 Fn 𝑋)
178		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑖))
179	178	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑖))
180	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → -∞ ∈ ℝ^*)
181	70	ad4ant13 1284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ^*)
182	166	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝑓‘𝑖) ∈ ℝ)
183	182	mnfltd 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → -∞ < (𝑓‘𝑖))
184		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
185	180, 181, 182, 183, 184	eliood 38567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
186	185	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
187	179, 186	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
188	187	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ (-∞(,)(𝐴‘𝑖)))
189	77	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (-∞(,)(𝐴‘𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
190	189	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (-∞(,)(𝐴‘𝑖)) = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
191	188, 190	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
192	10, 159	syl6eqss 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
193		ssid 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
194	15, 193	syl6eqss 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ)
195	192, 194	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ⊆ ℝ
196	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
197		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
198		fvixp2 38384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
199	196, 197, 198	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐵‘𝑖)), ℝ))
200	195, 199	sseldi 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
201	200	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ ℝ)
202		iffalse 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) = ℝ)
203	202	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝑖 → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
204	203	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → ℝ = if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
205	201, 204	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
206	205	adantllr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝑖) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
207	191, 206	pm2.61dan 828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
208	207	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
209	177, 208	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ)))
210	48	elixp 7801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) ↔ (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑘) ∈ if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ)))
211	209, 210	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ))
212	73	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
213	212	ad4ant13 1284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → X𝑘 ∈ 𝑋 if(𝑘 = 𝑖, (-∞(,)(𝐴‘𝑖)), ℝ) = (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
214	211, 213	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
215	172, 173, 174, 214	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
216		eldifn 3695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
217	216	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) ∧ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)) → ¬ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))
218	215, 217	pm2.65da 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖))
219	155, 158, 69	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℝ)
220	219, 167	lenltd 10062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑖) ≤ (𝑓‘𝑖) ↔ ¬ (𝑓‘𝑖) < (𝐴‘𝑖)))
221	218, 220	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑖) ≤ (𝑓‘𝑖))
222	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → -∞ ∈ ℝ^*)
223	84	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^*)
224		iooltub 38582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ^* ∧ (𝐵‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ (-∞(,)(𝐵‘𝑖))) → (𝑓‘𝑖) < (𝐵‘𝑖))
225	222, 223, 165, 224	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) < (𝐵‘𝑖))
226	155, 157, 158, 225	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) < (𝐵‘𝑖))
227	153, 154, 168, 221, 226	elicod 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
228	145, 151, 152, 227	syl21anc 1317	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
229	228	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → (𝑖 ∈ 𝑋 → (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))))
230	144, 229	ralrimi 2940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
231	141, 230	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → (𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑓‘𝑖) ∈ ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))))
232	231, 86	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)))
233	232	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) → 𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖))))
234	109, 233	impbid 201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
235	234	alrimiv 1842	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓(𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
236		dfcleq 2604	. 2 ⊢ (X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))) ↔ ∀𝑓(𝑓 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖)))))
237	235, 236	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝐴‘𝑖)[,)(𝐵‘𝑖)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐵‘𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻‘𝑋)(𝐴‘𝑖))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∀wal 1473 = wceq 1475 ∃wex 1695 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ∖ cdif 3537 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 ifcif 4036 ∩ ciin 4456 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 Fn wfn 5799 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 Xcixp 7794 Fincfn 7841 ℝcr 9814 -∞cmnf 9951 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 (,)cioo 12046 [,)cico 12048

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-iin 4458 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-er 7629 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-ioo 12050 df-ico 12052

This theorem is referenced by: hoimbllem 39520

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