MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icossre 12125
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)

Proof of Theorem icossre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 12108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
21biimp3a 1424 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
32simp1d 1066 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
433expia 1259 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ))
54ssrdv 3574 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  [,)cico 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  12166  ico01fl0  12482  rexico  13941  rlim3  14077  fprodge1  14565  ovolicopnf  23099  dvfsumrlim2  23599  tanord1  24087  chebbnd1  24961  chebbnd2  24966  dchrisumlem3  24980  pntpbnd1  25075  pntibndlem2  25080  sxbrsigalem0  29660  dya2iocress  29663  dya2iocucvr  29673  sitmcl  29740  tan2h  32571  icoopn  38598  limciccioolb  38688  ltmod  38705  limcresioolb  38710  fourierdlem32  39032  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem93  39092  fouriersw  39124  fouriercn  39125  hoissre  39434  hoissrrn2  39468  hoidmv1lelem2  39482  ovnlecvr2  39500  hspdifhsp  39506  hoiqssbllem2  39513  hspmbllem2  39517  iinhoiicclem  39564
  Copyright terms: Public domain W3C validator