MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Unicode version

Theorem icossre 11616
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 11599 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1329 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1199 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3495 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804    C_ wss 3461   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632   [,)cico 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ico 11546
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11654  rexico  13168  rlim3  13303  ovolicopnf  21913  dvfsumrlim2  22411  tanord1  22902  chebbnd1  23635  chebbnd2  23640  dchrisumlem3  23654  pntpbnd1  23749  pntibndlem2  23754  sxbrsigalem0  28220  dya2iocress  28223  dya2iocucvr  28233  tan2h  30023  icoopn  31519  fprodge1  31552  limciccioolb  31581  ltmod  31598  limcresioolb  31603  fourierdlem32  31875  fourierdlem46  31889  fourierdlem48  31891  fourierdlem93  31936  fouriersw  31968  fouriercn  31969  bj-flbi3  34483
  Copyright terms: Public domain W3C validator