MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Unicode version

Theorem icossre 11617
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 11600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1198 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3515 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   [,)cico 11543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-ico 11547
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11655  rexico  13166  rlim3  13301  abvf  17343  rege0subm  18344  iccpnfcnv  21312  cphsqrtcl  21499  ovollb2lem  21767  ovollb2  21768  ovolunlem1a  21775  ovolunlem1  21776  ovoliunlem1  21781  ovolicc1  21795  ovolicc2lem4  21799  ovolicopnf  21803  ovolre  21804  ioombl1lem2  21837  ioombl1lem4  21839  uniioombllem1  21858  uniioombllem2  21860  uniioombllem3  21862  uniioombllem6  21865  0plef  21947  mbfi1fseqlem3  21992  mbfi1fseqlem4  21993  mbfi1fseqlem5  21994  itg2mulclem  22021  itg2mulc  22022  itg2monolem1  22025  itg2mono  22028  itg2i1fseq  22030  itg2gt0  22035  itg2cnlem1  22036  itg2cnlem2  22037  dvfsumrlim2  22301  tanord1  22790  cxpcn3  22988  rlimcnp  23161  efrlim  23165  jensenlem1  23182  jensenlem2  23183  amgm  23186  chebbnd1  23523  chebbnd2  23528  dchrisumlem3  23542  pntpbnd1  23637  pntibndlem2  23642  sxbrsigalem0  28058  dya2iocress  28061  dya2iocucvr  28071  tan2h  29965  itg2addnclem2  29985  itg2addnclem3  29986  areacirclem2  30026  icoopn  31443  limciccioolb  31477  ltmod  31494  limcresioolb  31499  cncfiooicclem1  31546  fourierdlem32  31753  fourierdlem46  31767  fourierdlem48  31769  fourierdlem93  31814  fouriersw  31846  fouriercn  31847  bj-flbi3  34035
  Copyright terms: Public domain W3C validator