MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Unicode version

Theorem icossre 11490
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 11473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 1000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1190 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3473 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3439   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533   [,)cico 11416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-ico 11420
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11528  rexico  12962  rlim3  13097  abvf  17034  rege0subm  17997  iccpnfcnv  20651  cphsqrcl  20838  ovollb2lem  21106  ovollb2  21107  ovolunlem1a  21114  ovolunlem1  21115  ovoliunlem1  21120  ovolicc1  21134  ovolicc2lem4  21138  ovolicopnf  21142  ovolre  21143  ioombl1lem2  21176  ioombl1lem4  21178  uniioombllem1  21197  uniioombllem2  21199  uniioombllem3  21201  uniioombllem6  21204  0plef  21286  mbfi1fseqlem3  21331  mbfi1fseqlem4  21332  mbfi1fseqlem5  21333  itg2mulclem  21360  itg2mulc  21361  itg2monolem1  21364  itg2mono  21367  itg2i1fseq  21369  itg2gt0  21374  itg2cnlem1  21375  itg2cnlem2  21376  dvfsumrlim2  21640  tanord1  22129  cxpcn3  22322  rlimcnp  22495  efrlim  22499  jensenlem1  22516  jensenlem2  22517  amgm  22520  chebbnd1  22857  chebbnd2  22862  dchrisumlem3  22876  pntpbnd1  22971  pntibndlem2  22976  sxbrsigalem0  26850  dya2iocress  26853  dya2iocucvr  26863  sitgclg  26892  tan2h  28592  itg2addnclem2  28612  itg2addnclem3  28613  areacirclem2  28653  bj-flbi3  32885
  Copyright terms: Public domain W3C validator