MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icossre Structured version   Unicode version

Theorem icossre 11368
Description: A closed-below interval with real lower bound is a set of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icossre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )

Proof of Theorem icossre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elico2 11351 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) ) )
21biimp3a 1318 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <  B ) )
32simp1d 1000 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,) B
) )  ->  x  e.  RR )
433expia 1189 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( x  e.  ( A [,) B )  ->  x  e.  RR ) )
54ssrdv 3357 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR* )  -> 
( A [,) B
)  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3323   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411   [,)cico 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-ico 11298
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  11400  rexico  12833  rlim3  12968  abvf  16886  rege0subm  17844  iccpnfcnv  20491  cphsqrcl  20678  ovollb2lem  20946  ovollb2  20947  ovolunlem1a  20954  ovolunlem1  20955  ovoliunlem1  20960  ovolicc1  20974  ovolicc2lem4  20978  ovolicopnf  20982  ovolre  20983  ioombl1lem2  21015  ioombl1lem4  21017  uniioombllem1  21036  uniioombllem2  21038  uniioombllem3  21040  uniioombllem6  21043  0plef  21125  mbfi1fseqlem3  21170  mbfi1fseqlem4  21171  mbfi1fseqlem5  21172  itg2mulclem  21199  itg2mulc  21200  itg2monolem1  21203  itg2mono  21206  itg2i1fseq  21208  itg2gt0  21213  itg2cnlem1  21214  itg2cnlem2  21215  dvfsumrlim2  21479  tanord1  21968  cxpcn3  22161  rlimcnp  22334  efrlim  22338  jensenlem1  22355  jensenlem2  22356  amgm  22359  chebbnd1  22696  chebbnd2  22701  dchrisumlem3  22715  pntpbnd1  22810  pntibndlem2  22815  sxbrsigalem0  26638  dya2iocress  26641  dya2iocucvr  26651  sitgclg  26680  tan2h  28377  itg2addnclem2  28397  itg2addnclem3  28398  areacirclem2  28438  bj-flbi3  32374
  Copyright terms: Public domain W3C validator