Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 14565
 Description: If all of the terms of a finite product are larger or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph 𝑘𝜑
fprodge1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9918 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 9976 . . 3 1 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 9971 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 fprodge1.ph . . 3 𝑘𝜑
7 icossre 12125 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
81, 4, 7mp2an 704 . . . . 5 (1[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 9872 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3577 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
122a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
134a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
148sseli 3564 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
168sseli 3564 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918rexrd 9968 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
20 1t1e1 11052 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
2120eqcomi 2619 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 = (1 · 1))
231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
24 0le1 10430 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
262a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
274a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
28 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
29 icogelb 12096 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
334a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ (1[,)+∞))
35 icogelb 12096 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
3736adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3823, 15, 23, 17, 25, 25, 31, 37lemul12ad 10845 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
3922, 38eqbrtrd 4605 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
4018ltpnfd 11831 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
4112, 13, 19, 39, 40elicod 12095 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
4241adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
43 fprodge1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
442a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
454a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
46 fprodge1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4746rexrd 9968 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
48 fprodge1.ge . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
4946ltpnfd 11831 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < +∞)
5044, 45, 47, 48, 49elicod 12095 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
51 1le1 10534 . . . . . 6 1 ≤ 1
52 ltpnf 11830 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
531, 52ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
541, 51, 533pm3.2i 1232 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
55 elico2 12108 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
561, 4, 55mp2an 704 . . . . 5 (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
5754, 56mpbir 220 . . . 4 1 ∈ (1[,)+∞)
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
596, 11, 42, 43, 50, 58fprodcllemf 14527 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
60 icogelb 12096 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
613, 5, 59, 60syl3anc 1318 1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  ∏cprod 14474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475 This theorem is referenced by:  fprodle  14566
 Copyright terms: Public domain W3C validator