Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoissrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoissrrn2 39468
Description: A half-open interval is a subset of R^n . (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoissrrn2.kph 𝑘𝜑
hoissrrn2.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
hoissrrn2.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
hoissrrn2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
Distinct variable group:   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem hoissrrn2
StepHypRef Expression
1 ovex 6577 . . . . 5 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
21rgenw 2908 . . . 4 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V
3 ixpssmapg 7824 . . . 4 (∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ∈ V → X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋))
42, 3ax-mp 5 . . 3 X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋)
54a1i 11 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋))
6 reex 9906 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ V)
8 hoissrrn2.kph . . . . 5 𝑘𝜑
9 hoissrrn2.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 hoissrrn2.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 icossre 12125 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
129, 10, 11syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1312ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑋 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ))
148, 13ralrimi 2940 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 iunss 4497 . . . 4 ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
1614, 15sylibr 223 . . 3 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
17 mapss 7786 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ) → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
187, 16, 17syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ↑𝑚 𝑋) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
195, 18sstrd 3578 1 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wnf 1699  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  wss 3540   ciun 4455  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  cr 9814  *cxr 9952  [,)cico 12048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052
This theorem is referenced by:  ovnhoilem1  39491  ovnhoilem2  39492  ovnhoi  39493  hoiqssbllem2  39513
  Copyright terms: Public domain W3C validator