Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ico01fl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ico01fl0 12482
 Description: The floor of a real number in [0, 1) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 12557 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ico01fl0 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ico01fl0
StepHypRef Expression
1 0re 9919 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 1re 9918 . . . . 5 1 ∈ ℝ
32rexri 9976 . . . 4 1 ∈ ℝ*
4 icossre 12125 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0[,)1) ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 704 . . 3 (0[,)1) ⊆ ℝ
65sseli 3564 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 0xr 9965 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 elico1 12089 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
97, 3, 8mp2an 704 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,)1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 1))
109simp2bi 1070 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 0 ≤ 𝐴)
119simp3bi 1071 . 2 (𝐴 ∈ (0[,)1) → 𝐴 < 1)
12 recn 9905 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312addid2d 10116 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
1413fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(0 + 𝐴)) = (⌊‘𝐴))
1514eqeq1d 2612 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (⌊‘𝐴) = 0))
16 0z 11265 . . . . 5 0 ∈ ℤ
17 flbi2 12480 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1816, 17mpan 702 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘(0 + 𝐴)) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
1915, 18bitr3d 269 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) = 0 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)))
2019biimpar 501 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 1)) → (⌊‘𝐴) = 0)
216, 10, 11, 20syl12anc 1316 1 (𝐴 ∈ (0[,)1) → (⌊‘𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-fl 12455 This theorem is referenced by:  dnizeq0  31635  dignnld  42195  digexp  42199
 Copyright terms: Public domain W3C validator