Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoimbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoimbllem 39520
Description: Any n-dimensional half-open interval is Lebesgue measurable. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoimbllem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoimbllem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoimbllem.s 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
hoimbllem.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoimbllem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
Assertion
Ref Expression
hoimbllem (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝐵,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦   𝑖,𝐻,𝑙,𝑥,𝑦   𝑆,𝑖   𝑖,𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝜑,𝑖,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem hoimbllem
StepHypRef Expression
1 hoimbllem.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 hoimbllem.n . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
3 hoimbllem.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
4 hoimbllem.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
5 hoimbllem.h . . 3 𝐻 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑙𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ↦ X𝑖𝑥 if(𝑖 = 𝑙, (-∞(,)𝑦), ℝ)))
61, 2, 3, 4, 5hspdifhsp 39506 . 2 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) = 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))))
71vonmea 39464 . . . 4 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
8 hoimbllem.s . . . 4 𝑆 = dom (voln‘𝑋)
97, 8dmmeasal 39345 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
10 fict 8433 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝑋 ≼ ω)
111, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ≼ ω)
129adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑆 ∈ SAlg)
131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
14 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝑖𝑋)
154adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
1615, 14ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
175, 13, 14, 16hspmbl 39519 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
188eqcomi 2619 . . . . . 6 dom (voln‘𝑋) = 𝑆
1918a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → dom (voln‘𝑋) = 𝑆)
2017, 19eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
213ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐴𝑖) ∈ ℝ)
225, 13, 14, 21hspmbl 39519 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ dom (voln‘𝑋))
2322, 19eleqtrd 2690 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆)
24 saldifcl2 39222 . . . 4 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆 ∧ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖)) ∈ 𝑆) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
2512, 20, 23, 24syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
269, 11, 2, 25saliincl 39221 . 2 (𝜑 𝑖𝑋 ((𝑖(𝐻𝑋)(𝐵𝑖)) ∖ (𝑖(𝐻𝑋)(𝐴𝑖))) ∈ 𝑆)
276, 26eqeltrd 2688 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)[,)(𝐵𝑖)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  c0 3874  ifcif 4036   ciin 4456   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  ωcom 6957  Xcixp 7794  cdom 7839  Fincfn 7841  cr 9814  -∞cmnf 9951  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  SAlgcsalg 39204  volncvoln 39428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343  df-ome 39380  df-caragen 39382  df-ovoln 39427  df-voln 39429
This theorem is referenced by:  hoimbl  39521
  Copyright terms: Public domain W3C validator