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Theorem hspdifhsp 38556
Description: A n-dimensional half-open interval is the intersection of the difference of half spaces. This is a substep of Proposition 115G (a) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hspdifhsp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
hspdifhsp.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
hspdifhsp.a  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
hspdifhsp.b  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
hspdifhsp.h  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
Assertion
Ref Expression
hspdifhsp  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  =  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
l, x, y    B, i, l, x, y    i, H, l, x, y    i, X, l, x, y    ph, i,
l, x, y

Proof of Theorem hspdifhsp
Dummy variables  f  h  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
2 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i
f
3 nfixp1 7560 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i X_ i  e.  X  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )
42, 3nfel 2624 . . . . . . . 8  |-  F/ i  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )
51, 4nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
6 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  ->  f  Fn  X )
76ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  Fn  X )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
98oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  ( -oo (,) ( B `  k ) )  =  ( -oo (,) ( B `  i )
) )
10 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR )  =  ( -oo (,) ( B `  i ) ) )
119, 10eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( -oo (,) ( B `  k ) )  =  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i
) ) ,  RR ) )
12 eqimss 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -oo (,) ( B `
 k ) )  =  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `
 i ) ) ,  RR )  -> 
( -oo (,) ( B `
 k ) ) 
C_  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `
 i ) ) ,  RR ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( -oo (,) ( B `  k ) )  C_  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
14 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -oo (,) ( B `  k
) )  C_  RR
15 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR )  =  RR )
1614, 15syl5sseqr 3467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  k  =  i  -> 
( -oo (,) ( B `
 k ) ) 
C_  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `
 i ) ) ,  RR ) )
1713, 16pm2.61i 169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -oo (,) ( B `  k
) )  C_  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR )
18 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- -oo  e.  RR*
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  -> -oo  e.  RR* )
20 hspdifhsp.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B : X --> RR )
2120ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
2221rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
2322adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR* )
24 hspdifhsp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
2524ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
26 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR  /\  ( B `  k )  e.  RR* )  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) 
C_  RR )
2725, 22, 26syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) 
C_  RR )
2827adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
( A `  k
) [,) ( B `
 k ) ) 
C_  RR )
29 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
30 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
31 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  k  ->  ( A `  i )  =  ( A `  k ) )
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  k  ->  ( B `  i )  =  ( B `  k ) )
3331, 32oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  k  ->  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )  =  ( ( A `
 k ) [,) ( B `  k
) ) )
3433fvixp 7545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
3529, 30, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
3635adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )
3728, 36sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  RR )
3837mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  -> -oo  <  ( f `  k ) )
3925rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR* )
4039adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR* )
41 icoltub 37703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A `  k
)  e.  RR*  /\  ( B `  k )  e.  RR*  /\  ( f `
 k )  e.  ( ( A `  k ) [,) ( B `  k )
) )  ->  (
f `  k )  <  ( B `  k
) )
4240, 23, 36, 41syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  <  ( B `  k
) )
4319, 23, 37, 38, 42eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  ( -oo (,) ( B `  k )
) )
4417, 43sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i
) ) ,  RR ) )
4544adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  /\  k  e.  X
)  ->  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
4645ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  A. k  e.  X  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
477, 46jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f  Fn  X  /\  A. k  e.  X  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `
 i ) ) ,  RR ) ) )
48 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
4948elixp 7547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR )  <-> 
( f  Fn  X  /\  A. k  e.  X  ( f `  k
)  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i )
) ,  RR ) ) )
5047, 49sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
51 hspdifhsp.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
52 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  k  ->  (
i  =  l  <->  k  =  l ) )
5352ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  k  ->  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )  =  if (
k  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
5453cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR )  =  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( l  e.  x  /\  y  e.  RR )  -> 
X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )  =  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) )
5655mpt2eq3ia 6375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if (
k  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
5756mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) ) )  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
5851, 57eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ k  e.  x  if ( k  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
59 hspdifhsp.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
6059adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  X  e.  Fin )
61 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
6220adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  B : X --> RR )
6362, 61ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
6458, 60, 61, 63hspval 38549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) )  =  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
6564adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) )  =  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
6650, 65eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )
6718a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  -> -oo  e.  RR* )
6824adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  A : X --> RR )
6968, 61ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
7069rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR* )
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR* )
72 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )
7358, 60, 61, 69hspval 38549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) )  =  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) )
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) )  =  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) )
7572, 74eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) )
7661adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  i  e.  X )
77 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR )  =  ( -oo (,) ( A `  i ) ) )
7877fvixp 7545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  X_ k  e.  X  if (
k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR )  /\  i  e.  X
)  ->  ( f `  i )  e.  ( -oo (,) ( A `
 i ) ) )
7975, 76, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  (
f `  i )  e.  ( -oo (,) ( A `  i )
) )
80 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( A `  i )  e.  RR*  /\  ( f `
 i )  e.  ( -oo (,) ( A `  i )
) )  ->  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )
8167, 71, 79, 80syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )
8281adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) )  ->  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)
8370adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR* )
8463rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  ( B `  i )  e.  RR* )
8584adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( B `  i )  e.  RR* )
8648elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  <->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) ) )
8786biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  ->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) ) )
8887simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  ->  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )
89 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  X  ( f `  i
)  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( f `  i
)  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i ) ) )
9088, 89sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
9190adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
92 icogelb 11711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  RR*  /\  ( B `  i )  e.  RR*  /\  ( f `
 i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  ->  ( A `  i )  <_  ( f `  i
) )
9383, 85, 91, 92syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  <_  ( f `  i
) )
9469adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
95 icossre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A `  i
)  e.  RR  /\  ( B `  i )  e.  RR* )  ->  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) 
C_  RR )
9669, 84, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) 
C_  RR )
9796adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) 
C_  RR )
9897, 91sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
9994, 98lenltd 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  (
( A `  i
)  <_  ( f `  i )  <->  -.  (
f `  i )  <  ( A `  i
) ) )
10093, 99mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  -.  ( f `  i
)  <  ( A `  i ) )
101100adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `
 i ) [,) ( B `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  /\  f  e.  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) )  ->  -.  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )
10282, 101pm2.65da 586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  -.  f  e.  ( i
( H `  X
) ( A `  i ) ) )
10366, 102eldifd 3401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )
104103ex 441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )  ->  ( i  e.  X  ->  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) ) )
1055, 104ralrimi 2800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )  ->  A. i  e.  X  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )
106 eliin 4275 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  <->  A. i  e.  X  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) ) )
10748, 106ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) )  <->  A. i  e.  X  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
108105, 107sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )  ->  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )
109108ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ i  e.  X  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )  ->  f  e.  |^|_ i  e.  X  (
( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) ) )
110 hspdifhsp.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
111 n0 3732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. k  k  e.  X )
112111biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =/=  (/)  ->  E. k 
k  e.  X )
113110, 112syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E. k  k  e.  X )
114113adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  E. k 
k  e.  X )
115 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
116 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
117 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  k  ->  i  =  k )
118117, 32oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  k  ->  (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) )  =  ( k ( H `  X ) ( B `  k
) ) )
119117, 31oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  k  ->  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) )  =  ( k ( H `  X ) ( A `  k
) ) )
120118, 119difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  (
( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) )  =  ( ( k ( H `  X
) ( B `  k ) )  \ 
( k ( H `
 X ) ( A `  k ) ) ) )
121120eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  (
f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  <->  f  e.  ( ( k ( H `  X ) ( B `  k
) )  \  (
k ( H `  X ) ( A `
 k ) ) ) ) )
122115, 116, 121eliind 37474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  ( ( k ( H `  X ) ( B `
 k ) ) 
\  ( k ( H `  X ) ( A `  k
) ) ) )
123122eldifad 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  ( k ( H `  X
) ( B `  k ) ) )
124123adantll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  ( k ( H `
 X ) ( B `  k ) ) )
125 equequ1 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  h  ->  (
i  =  l  <->  h  =  l ) )
126125ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  h  ->  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )  =  if (
h  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
127126cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR )  =  X_ h  e.  x  if ( h  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( l  e.  x  /\  y  e.  RR )  -> 
X_ i  e.  x  if ( i  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR )  =  X_ h  e.  x  if ( h  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) )
129128mpt2eq3ia 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )  =  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ h  e.  x  if (
h  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) )
130129mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ i  e.  x  if (
i  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) ) )  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ h  e.  x  if ( h  =  l ,  ( -oo (,) y
) ,  RR ) ) )
13151, 130eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( x  e.  Fin  |->  ( l  e.  x ,  y  e.  RR  |->  X_ h  e.  x  if ( h  =  l ,  ( -oo (,) y ) ,  RR ) ) )
13259ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  X  e.  Fin )
133 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
13421adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
135131, 132, 133, 134hspval 38549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  (
k ( H `  X ) ( B `
 k ) )  =  X_ h  e.  X  if ( h  =  k ,  ( -oo (,) ( B `  k ) ) ,  RR ) )
136124, 135eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  X_ h  e.  X  if ( h  =  k ,  ( -oo (,) ( B `  k ) ) ,  RR ) )
137 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  X_ h  e.  X  if ( h  =  k ,  ( -oo (,) ( B `  k ) ) ,  RR )  ->  f  Fn  X
)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  k  e.  X )  ->  f  Fn  X )
139138ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  ( k  e.  X  ->  f  Fn  X ) )
140139exlimdv 1787 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  ( E. k  k  e.  X  ->  f  Fn  X ) )
141114, 140mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  f  Fn  X )
142 nfii1 4300 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) )
1432, 142nfel 2624 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )
1441, 143nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )
145 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ph )
146107biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) )  ->  A. i  e.  X  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  ->  A. i  e.  X  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
148 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
149 rspa 2774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. i  e.  X  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
151150adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )
152 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
15370adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR* )
15484adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( B `  i )  e.  RR* )
155 simpll 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ph )
156 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( i ( H `  X
) ( B `  i ) )  \ 
( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )
157156ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )
158 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
159 ioossre 11721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -oo (,) ( B `  i
) )  C_  RR
160 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )
16164adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) )  =  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
162160, 161eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
163 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  i  e.  X )
16410fvixp 7545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  X_ k  e.  X  if (
k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i )
) ,  RR )  /\  i  e.  X
)  ->  ( f `  i )  e.  ( -oo (,) ( B `
 i ) ) )
165162, 163, 164syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( -oo (,) ( B `  i )
) )
166159, 165sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
167155, 157, 158, 166syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR )
168167rexrd 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  RR* )
169 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  ->  ph )
170156adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )
171169, 170jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  ->  ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) ) )
172171ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) ) )
173 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  i  e.  X )
174 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)
175 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR )  ->  f  Fn  X
)
176162, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  f  Fn  X )
177176adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  f  Fn  X )
178 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
179178adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  /\  k  =  i )  ->  (
f `  k )  =  ( f `  i ) )
18018a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  -> -oo  e.  RR* )
18170ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( A `  i )  e.  RR* )
182166adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( f `  i )  e.  RR )
183182mnfltd 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  -> -oo  <  (
f `  i )
)
184 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)
185180, 181, 182, 183, 184eliood 37691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( f `  i )  e.  ( -oo (,) ( A `
 i ) ) )
186185adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  /\  k  =  i )  ->  (
f `  i )  e.  ( -oo (,) ( A `  i )
) )
187179, 186eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  /\  k  =  i )  ->  (
f `  k )  e.  ( -oo (,) ( A `  i )
) )
188187adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  /\  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )  /\  k  e.  X )  /\  k  =  i )  -> 
( f `  k
)  e.  ( -oo (,) ( A `  i
) ) )
18977eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  i  ->  ( -oo (,) ( A `  i ) )  =  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i
) ) ,  RR ) )
190189adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  /\  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )  /\  k  e.  X )  /\  k  =  i )  -> 
( -oo (,) ( A `
 i ) )  =  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `
 i ) ) ,  RR ) )
191188, 190eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  /\  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )  /\  k  e.  X )  /\  k  =  i )  -> 
( f `  k
)  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) )
19210, 159syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) 
C_  RR )
193 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  RR  C_  RR
19415, 193syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) 
C_  RR )
195192, 194pm2.61i 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i )
) ,  RR ) 
C_  RR
196162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  ->  f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
197 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  ->  k  e.  X )
198 fvixp2 37549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  e.  X_ k  e.  X  if (
k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i )
) ,  RR )  /\  k  e.  X
)  ->  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i ) ) ,  RR ) )
199196, 197, 198syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( B `  i
) ) ,  RR ) )
200195, 199sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  RR )
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  /\  -.  k  =  i )  ->  ( f `  k
)  e.  RR )
202 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  k  =  i  ->  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR )  =  RR )
203202eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  k  =  i  ->  RR  =  if (
k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) )
204203adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  /\  -.  k  =  i )  ->  RR  =  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) )
205201, 204eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  k  e.  X )  /\  -.  k  =  i )  ->  ( f `  k
)  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) )
206205adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  /\  (
f `  i )  <  ( A `  i
) )  /\  k  e.  X )  /\  -.  k  =  i )  ->  ( f `  k
)  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) )
207191, 206pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  /\  k  e.  X )  ->  (
f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i
) ) ,  RR ) )
208207ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  A. k  e.  X  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) )
209177, 208jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  ( f  Fn  X  /\  A. k  e.  X  ( f `  k )  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) ) )
21048elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR )  <-> 
( f  Fn  X  /\  A. k  e.  X  ( f `  k
)  e.  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR ) ) )
211209, 210sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  f  e.  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i ) ) ,  RR ) )
21273eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  X )  ->  X_ k  e.  X  if (
k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `  i )
) ,  RR )  =  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) )
213212ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  X_ k  e.  X  if ( k  =  i ,  ( -oo (,) ( A `
 i ) ) ,  RR )  =  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )
214211, 213eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i
( H `  X
) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )
215172, 173, 174, 214syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )
216 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ( i ( H `  X
) ( B `  i ) )  \ 
( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )  ->  -.  f  e.  ( i
( H `  X
) ( A `  i ) ) )
217216ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )  /\  i  e.  X
)  /\  ( f `  i )  <  ( A `  i )
)  ->  -.  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( A `  i ) ) )
218215, 217pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  -.  ( f `  i
)  <  ( A `  i ) )
219155, 158, 69syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
220219, 167lenltd 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
( A `  i
)  <_  ( f `  i )  <->  -.  (
f `  i )  <  ( A `  i
) ) )
221218, 220mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( A `  i )  <_  ( f `  i
) )
22218a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  -> -oo  e.  RR* )
22384adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  ( B `  i )  e.  RR* )
224 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( B `  i )  e.  RR*  /\  ( f `
 i )  e.  ( -oo (,) ( B `  i )
) )  ->  (
f `  i )  <  ( B `  i
) )
225222, 223, 165, 224syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <  ( B `  i
) )
226155, 157, 158, 225syl21anc 1291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  <  ( B `  i
) )
227153, 154, 168, 221, 226elicod 11710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
228145, 151, 152, 227syl21anc 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) ) )  /\  i  e.  X )  ->  (
f `  i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) )
229228ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  ( i  e.  X  ->  ( f `
 i )  e.  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
) ) )
230144, 229ralrimi 2800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )
231141, 230jca 541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  ( f  Fn  X  /\  A. i  e.  X  ( f `  i )  e.  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) ) )
232231, 86sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) )  ->  f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) )
233232ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  |^|_ i  e.  X  (
( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) )  ->  f  e.  X_ i  e.  X  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) ) ) )
234109, 233impbid 195 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ i  e.  X  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )  <-> 
f  e.  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) ) )
235234alrimiv 1781 . 2  |-  ( ph  ->  A. f ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  <->  f  e.  |^|_ i  e.  X  (
( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) ) )
236 dfcleq 2465 . 2  |-  ( X_ i  e.  X  (
( A `  i
) [,) ( B `
 i ) )  =  |^|_ i  e.  X  ( ( i ( H `  X ) ( B `  i
) )  \  (
i ( H `  X ) ( A `
 i ) ) )  <->  A. f ( f  e.  X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  <->  f  e.  |^|_ i  e.  X  (
( i ( H `
 X ) ( B `  i ) )  \  ( i ( H `  X
) ( A `  i ) ) ) ) )
237235, 236sylibr 217 1  |-  ( ph  -> 
X_ i  e.  X  ( ( A `  i ) [,) ( B `  i )
)  =  |^|_ i  e.  X  ( (
i ( H `  X ) ( B `
 i ) ) 
\  ( i ( H `  X ) ( A `  i
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   |^|_ciin 4270   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   X_cixp 7540   Fincfn 7587   RRcr 9556   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   (,)cioo 11660   [,)cico 11662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-ioo 11664  df-ico 11666
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