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Theorem limcleqr 38711
Description: If the left and the right limits are equal, the limit of the function exits and the three limits coincide. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcleqr.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcleqr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limcleqr.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limcleqr.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcleqr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcleqr.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limcleqr.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limcleqr.leqr (𝜑𝐿 = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
limcleqr (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcleqr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23445 . . 3 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limcleqr.l . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
31, 2sseldi 3566 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
4 simp-4r 803 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
5 simplr 788 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
64, 5ifcld 4081 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
7 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑𝑥 ∈ ℝ+)
8 nfv 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑎 ∈ ℝ+
97, 8nfan 1816 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
10 nfra1 2925 . . . . . . . . . 10 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
119, 10nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
12 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑏 ∈ ℝ+
1311, 12nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑧((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)
14 nfra1 2925 . . . . . . . 8 𝑧𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1513, 14nfan 1816 . . . . . . 7 𝑧(((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16 simp-6l 806 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
17163ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
18 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
20 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ ∈ ℝ*
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
22 limcleqr.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2322rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
24233ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25 limcleqr.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
27263adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
2827mnfltd 11834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → -∞ < 𝑧)
29 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 < 𝐵)
3021, 24, 27, 28, 29eliood 38567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
3117, 18, 19, 30syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵))
32 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
3332oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
3433eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿))
3534fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (-∞(,)𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
3631, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)))
37 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
38373ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
3918, 31elind 3760 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
4038, 39jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
41 simpl3l 1109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐵)
424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
43423ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ+)
445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
45443ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ+)
46 simpl3r 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
47 simpl1 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝜑)
48 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
4926recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
5022recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5249, 51subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
5352abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
5447, 48, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
55 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
57 rpre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
5956, 58ifcld 4081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
60593adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
62563adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑎 ∈ ℝ)
64 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
65583adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
66 min1 11894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6762, 65, 66syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
6954, 61, 63, 64, 68ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7017, 43, 45, 46, 18, 69syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎)
7141, 70jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎))
72 rspa 2914 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
7340, 71, 72sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
7436, 73eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
75 simp-6l 806 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
76753ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝜑)
7776, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧𝐴)
7976, 78, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
80 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵𝑧𝐵)
8180necomd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵𝐵𝑧)
8281ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
83823ad2antl3 1218 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵𝑧)
84 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → ¬ 𝑧 < 𝐵)
8577, 79, 83, 84lttri5d 38454 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → 𝐵 < 𝑧)
86 simp-6l 806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
87863ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝜑)
88 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐴)
89 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
90233ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ*)
91 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
93263adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
94 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝐵 < 𝑧)
9593ltpnfd 11831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 < +∞)
9690, 92, 93, 94, 95eliood 38567 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
9787, 88, 89, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞))
98 fvres 6117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
9998eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧))
10099oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿))
101100fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵(,)+∞) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
10297, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)))
103 simpl1r 1106 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
10488, 97elind 3760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
105103, 104jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
106 simpl3l 1109 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑧𝐵)
1074adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1081073ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑎 ∈ ℝ+)
1095adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1101093ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → 𝑏 ∈ ℝ+)
111 simpl3r 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))
11265adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑏 ∈ ℝ)
113 min2 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11462, 65, 113syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
11654, 61, 112, 64, 115ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ((abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∧ 𝑧𝐴)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
11787, 108, 110, 111, 88, 116syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏)
118106, 117jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏))
119 rspa 2914 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
120105, 118, 119sylc 63 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
121102, 120eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ 𝐵 < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12285, 121syldan 486 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) ∧ ¬ 𝑧 < 𝐵) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
12374, 122pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
1241233exp 1256 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
12515, 124ralrimi 2940 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
126 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)))
127126anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏))))
128127imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
129128ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑦 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
130129rspcev 3282 . . . . . 6 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏)) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
1316, 125, 130syl2anc 691 . . . . 5 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
132 limcleqr.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
133 limcleqr.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
134 fresin 5986 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
136 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
137 ioosscn 38563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
138136, 137sstri 3577 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
140135, 139, 50ellimc3 23449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))))
141132, 140mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
142141simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
143142r19.21bi 2916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
144 limcleqr.leqr . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 = 𝑅)
145144oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅))
146145fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)))
147146breq1d 4593 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥))
148147imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
149148rexralbidv 3040 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
150149adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝑅)) < 𝑥)))
151143, 150mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
152151ad2antrr 758 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
153131, 152r19.29a 3060 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
154 fresin 5986 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
155133, 154syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
156 inss2 3796 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
157 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
158156, 157sstri 3577 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
159 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
160159a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
161158, 160syl5ss 3579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
162155, 161, 50ellimc3 23449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1632, 162mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
164163simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
165164r19.21bi 2916 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑎) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
166153, 165r19.29a 3060 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
167166ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
16825, 159syl6ss 3580 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
169133, 168, 50ellimc3 23449 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
1703, 167, 169mpbir2and 959 1 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ran crn 5039  cres 5040  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  +crp 11708  (,)cioo 12046  abscabs 13822  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  fldccnfld 19567   lim climc 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436
This theorem is referenced by:  limclr  38722
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