mullimc - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mullimc		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mullimc 38683

Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mullimc.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
mullimc.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
mullimc.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
mullimc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
mullimc.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
mullimc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
mullimc.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))

**Assertion**
Ref	Expression
mullimc	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐷 𝑥,𝑋 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑥) 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝐻(𝑥) 𝑌(𝑥)

Proof of Theorem mullimc Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 23445	. . . 4 ⊢ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
2		mullimc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷))
3	1, 2	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4		limccl 23445	. . . 4 ⊢ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ⊆ ℂ
5		mullimc.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷))
6	4, 5	sseldi 3566	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 9939	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
8		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
9	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑋 ∈ ℂ)
10	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → 𝑌 ∈ ℂ)
11		mulcn2 14174	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
13		mullimc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14		mullimc.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15	13, 14	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
16	14, 13	dmmptd 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
17		limcrcl 23444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
19	18	simp2d 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
20	16, 19	eqsstr3d 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
21	18	simp3d 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	15, 20, 21	ellimc3 23449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))))
23	2, 22	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
24	23	simprd 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
25	24	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
26	25	adantrr 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
27		mullimc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28		mullimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
29	27, 28	fmptd 6292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
30	29, 20, 21	ellimc3 23449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐺 lim_ℂ 𝐷) ↔ (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
31	5, 30	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
32	31	simprd 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
33	32	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
34	33	adantrl 748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
35		reeanv 3086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
36	26, 34, 35	sylanbrc 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
37		ifcl 4080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
38	37	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺)
39		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺))
40		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)
41		nfra1 2925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
42		nfra1 2925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
43	41, 42	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑧(∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
44	39, 40, 43	nf3an 1819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
45		simp11l 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
46		simp1rl 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
47	46	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑎 ∈ ℝ⁺)
48	45, 47	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
49		simp12 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
50		simp13l 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
51	48, 49, 50	jca31 555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
52		simp1r 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
53		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
54		simp3l 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
55		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) → 𝜑)
56	55	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
57		simp1lr 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
58		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
59		simp1l 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝜑)
60		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
61	20	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
62	59, 60, 61	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑧 ∈ ℂ)
63	59, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝐷 ∈ ℂ)
64	62, 63	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (𝑧 − 𝐷) ∈ ℂ)
65	64	abscld 14023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) ∈ ℝ)
66		rpre 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ⁺ → 𝑒 ∈ ℝ)
67	66	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑒 ∈ ℝ)
68	67	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑒 ∈ ℝ)
69		rpre 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ⁺ → 𝑓 ∈ ℝ)
70	69	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) → 𝑓 ∈ ℝ)
71	70	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
72	68, 71	ifcld 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ)
73		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
74		min1 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
75	68, 71, 74	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑒)
76	65, 72, 68, 73, 75	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
77	56, 57, 53, 58, 76	syl211anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒)
78	54, 77	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒))
79		rsp 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)))
80	52, 53, 78, 79	syl3c 64	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
81	51, 80	syld3an1 1364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎)
82		simp1l 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
83	82, 46	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺))
84		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
85		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
86	83, 84, 85	jca31 555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
87		simp1r 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
88		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
89		simp3l 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝑧 ≠ 𝐷)
90		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → 𝜑)
91	90	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → 𝜑)
92		simp1lr 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺))
93		simp3r 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))
94		min2 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
95	68, 71, 94	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ≤ 𝑓)
96	65, 72, 71, 73, 95	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
97	91, 92, 88, 93, 96	syl211anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓)
98	89, 97	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓))
99		rsp 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
100	87, 88, 98, 99	syl3c 64	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
101	86, 100	syl3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)
102	81, 101	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
103	102	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
104	44, 103	ralrimi 2940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
105		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)))
106	105	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) ↔ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓))))
107	106	imbi1d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) → (((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
108	107	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
109	108	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < if(𝑒 ≤ 𝑓, 𝑒, 𝑓)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
110	38, 104, 109	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) ∧ (𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) ∧ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
111	110	3exp 1256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ((𝑒 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑓 ∈ ℝ⁺) → ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))))
112	111	rexlimdvv 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → (∃𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑓 ∈ ℝ⁺ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑒) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑓) → (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
113	36, 112	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
114	113	adantlr 747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
115	114	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
116		nfv 1830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺)
117		nfra1 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
118	116, 117	nfan 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
119		simp1l 1078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → 𝜑)
120	119	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → 𝜑)
121	120	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝜑)
122		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
123		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
124		mullimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
125		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶))
126	124, 125	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝐻
127		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
128	126, 127	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑧)
129		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
130	14, 129	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
131	130, 127	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑧)
132		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 ·
133		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
134	28, 133	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝐺
135	134, 127	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑧)
136	131, 132, 135	nfov 6575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))
137	128, 136	nfeq 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))
138	123, 137	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
139		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
140	139	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
141		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑧))
142		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
143		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑧))
144	142, 143	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
145	141, 144	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧))))
146	140, 145	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))))
147		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
148	13, 27	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
149	124	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
150	147, 148, 149	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
151	14	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
152	147, 13, 151	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
153	152	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = (𝐹‘𝑥))
154	28	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
155	147, 27, 154	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = 𝐶)
156	155	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 = (𝐺‘𝑥))
157	153, 156	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
158	150, 157	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
159	138, 146, 158	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
160	159	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌)))
161	160	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
162	121, 122, 161	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
163	15	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
164	29	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
165	163, 164	jca 553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
166	121, 122, 165	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ))
167		simpll3 1095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
168	167	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
169		rsp 2913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))))
170	169	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
171	170	3adant1l 1310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
172		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (𝑐 − 𝑋) = ((𝐹‘𝑧) − 𝑋))
173	172	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘(𝑐 − 𝑋)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)))
174	173	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎))
175	174	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏)))
176		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (𝑐 · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · 𝑑))
177	176	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)))
178	177	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))))
179	178	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
180	175, 179	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑧) → ((((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
181		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (𝑑 − 𝑌) = ((𝐺‘𝑧) − 𝑌))
182	181	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(𝑑 − 𝑌)) = (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)))
183	182	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))
184	183	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)))
185		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((𝐹‘𝑧) · 𝑑) = ((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)))
186	185	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌)) = (((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌)))
187	186	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) = (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))))
188	187	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
189	184, 188	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐺‘𝑧) → ((((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) ↔ (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
190	180, 189	rspc2v 3293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → (((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
191	166, 168, 171, 190	syl3c 64	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘(((𝐹‘𝑧) · (𝐺‘𝑧)) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
192	162, 191	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)
193	192	3exp 1256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → (𝑧 ∈ 𝐴 → ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
194	118, 193	ralrimi 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
195	194	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
196	195	reximdva 3000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘((𝐺‘𝑧) − 𝑌)) < 𝑏)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
197	115, 196	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
198	197	3exp 1256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ((𝑎 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑏 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
199	198	rexlimdvv 3019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑎 ∈ ℝ⁺ ∃𝑏 ∈ ℝ⁺ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑑 ∈ ℂ (((abs‘(𝑐 − 𝑋)) < 𝑎 ∧ (abs‘(𝑑 − 𝑌)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 · 𝑑) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤)))
200	12, 199	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
201	200	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))
202	148, 124	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶ℂ)
203	202, 20, 21	ellimc3 23449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 ≠ 𝐷 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦) → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝑋 · 𝑌))) < 𝑤))))
204	7, 201, 203	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐻 lim_ℂ 𝐷))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 ⊆ wss 3540 ifcif 4036 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 dom cdm 5038 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℝ⁺crp 11708 abscabs 13822 lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-fz 12198 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-rest 15906 df-topn 15907 df-topgen 15927 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cnp 20842 df-xms 21935 df-ms 21936 df-limc 23436

This theorem is referenced by: reclimc 38720 divlimc 38723 fourierdlem73 39072 fourierdlem76 39075 fourierdlem84 39083 fourierdlem85 39084 fourierdlem88 39087

W3C validator