Theorem mullimc 37515

Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullimc.f	|- F = ( x e. A |-> B )
mullimc.g	|- G = ( x e. A |-> C )
mullimc.h	|- H = ( x e. A |-> ( B x. C ) )
mullimc.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
mullimc.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
mullimc.x	|- ( ph -> X e. ( F lim CC D ) )
mullimc.y	|- ( ph -> Y e. ( G lim CC D ) )

Assertion

Ref	Expression
mullimc	|- ( ph -> ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, D   x, X   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   F( x)   G( x)   H( x)   Y( x)

Proof of Theorem mullimc

Dummy variables a b e f y z w c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccl 22816	. . . 4 |- ( F lim CC D ) C_ CC
2		mullimc.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. ( F lim CC D ) )
3	1, 2	sseldi 3462	. . 3 |- ( ph -> X e. CC )
4		limccl 22816	. . . 4 |- ( G lim CC D ) C_ CC
5		mullimc.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( G lim CC D ) )
6	4, 5	sseldi 3462	. . 3 |- ( ph -> Y e. CC )
7	3, 6	mulcld 9663	. 2 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. CC )
8		simpr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> w e. RR+ )
9	3	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> X e. CC )
10	6	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> Y e. CC )
11		mulcn2 13646	. . . . 5 |- ( ( w e. RR+ /\ X e. CC /\ Y e. CC ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
13		mullimc.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
14		mullimc.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F = ( x e. A |-> B )
15	13, 14	fmptd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : A --> CC )
16	14, 13	dmmptd 5722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F = A )
17		limcrcl 22815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( F lim CC D ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
18	2, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ D e. CC ) )
19	18	simp2d 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom F C_ CC )
20	16, 19	eqsstr3d 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ CC )
21	18	simp3d 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. CC )
22	15, 20, 21	ellimc3 22820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X e. ( F lim CC D ) <-> ( X e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) ) )
23	2, 22	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X e. CC /\ A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
24	23	simprd 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. a e. RR+ E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
25	24	r19.21bi 2794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. RR+ ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
26	25	adantrr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
27		mullimc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
28		mullimc.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = ( x e. A |-> C )
29	27, 28	fmptd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : A --> CC )
30	29, 20, 21	ellimc3 22820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y e. ( G lim CC D ) <-> ( Y e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
31	5, 30	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Y e. CC /\ A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
32	31	simprd 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. b e. RR+ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
33	32	r19.21bi 2794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. RR+ ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
34	33	adantrl 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
35		reeanv 2996	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> ( E. e e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ E. f e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
36	26, 34, 35	sylanbrc 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
37		ifcl 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
38	37	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ )
39		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) )
40		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( e e. RR+ /\ f e. RR+ )
41		nfra1 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
42		nfra1 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
43	41, 42	nfan 1984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
44	39, 40, 43	nf3an 1986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
45		simp11l 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
46		simp1rl 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> a e. RR+ )
47	46	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> a e. RR+ )
48	45, 47	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
49		simp12 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
50		simp13l 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
51	48, 49, 50	jca31 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
52		simp1r 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
53		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
54		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
55		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) -> ph )
56	55	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
57		simp1lr 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
58		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
59		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ph )
60		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. A )
61	20	sselda 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. CC )
62	59, 60, 61	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> z e. CC )
63	59, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> D e. CC )
64	62, 63	subcld 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( z - D ) e. CC )
65	64	abscld 13485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) e. RR )
66		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( e e. RR+ -> e e. RR )
67	66	ad2antrl 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> e e. RR )
68	67	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> e e. RR )
69		rpre 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f e. RR+ -> f e. RR )
70	69	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) -> f e. RR )
71	70	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> f e. RR )
72	68, 71	ifcld 3952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) e. RR )
73		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
74		min1 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
75	68, 71, 74	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ e )
76	65, 72, 68, 73, 75	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
77	56, 57, 53, 58, 76	syl211anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < e )
78	54, 77	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) )
79		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) )
80	52, 53, 78, 79	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
81	51, 80	syld3an1 1310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a )
82		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ph )
83	82, 46	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( ph /\ a e. RR+ ) )
84		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
85		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
86	83, 84, 85	jca31 536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
87		simp1r 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
88		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z e. A )
89		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> z =/= D )
90		simplll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> ph )
91	90	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ph )
92		simp1lr 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) )
93		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) )
94		min2 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( e e. RR /\ f e. RR ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
95	68, 71, 94	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> if ( e <_ f , e , f ) <_ f )
96	65, 72, 71, 73, 95	ltletrd 9795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ z e. A /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
97	91, 92, 88, 93, 96	syl211anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( z - D ) ) < f )
98	89, 97	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) )
99		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
100	87, 88, 98, 99	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR+ ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
101	86, 100	syl3an1 1297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b )
102	81, 101	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
103	102	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
104	44, 103	ralrimi 2825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
105		breq2 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( abs ` ( z - D ) ) < y <-> ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) )
106	105	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) <-> ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) ) )
107	106	imbi1d 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
108	107	ralbidv 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = if ( e <_ f , e , f ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) <-> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
109	108	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( e <_ f , e , f ) e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < if ( e <_ f , e , f ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
110	38, 104, 109	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) /\ ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) /\ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
111	110	3exp 1204	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( ( e e. RR+ /\ f e. RR+ ) -> ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) ) )
112	111	rexlimdvv 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> ( E. e e. RR+ E. f e. RR+ ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < e ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < f ) -> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
113	36, 112	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
114	113	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
115	114	3adant3 1025	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
116		nfv 1751	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ )
117		nfra1 2806	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
118	116, 117	nfan 1984	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
119		simp1l 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> ph )
120	119	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ph )
121	120	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ph )
122		simp2 1006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> z e. A )
123		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ z e. A )
124		mullimc.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- H = ( x e. A |-> ( B x. C ) )
125		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( x e. A |-> ( B x. C ) )
126	124, 125	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x H
127		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x z
128	126, 127	nffv 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( H ` z )
129		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
130	14, 129	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x F
131	130, 127	nffv 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( F ` z )
132		nfcv 2584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x x.
133		nfmpt1 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
134	28, 133	nfcxfr 2582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x G
135	134, 127	nffv 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( G ` z )
136	131, 132, 135	nfov 6327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) )
137	128, 136	nfeq 2595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) )
138	123, 137	nfim 1976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
139		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
140	139	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ z e. A ) ) )
141		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( H ` x ) = ( H ` z ) )
142		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
143		fveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
144	142, 143	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
145	141, 144	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) <-> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) )
146	140, 145	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) ) <-> ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) ) ) )
147		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
148	13, 27	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B x. C ) e. CC )
149	124	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. A /\ ( B x. C ) e. CC ) -> ( H ` x ) = ( B x. C ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( B x. C ) )
151	14	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ B e. CC ) -> ( F ` x ) = B )
152	147, 13, 151	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) = B )
153	152	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( F ` x ) )
154	28	fvmpt2 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ C e. CC ) -> ( G ` x ) = C )
155	147, 27, 154	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = C )
156	155	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C = ( G ` x ) )
157	153, 156	oveq12d 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B x. C ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
158	150, 157	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = ( ( F ` x ) x. ( G ` x ) ) )
159	138, 146, 158	chvar 2067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( H ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
160	159	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) )
161	160	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
162	121, 122, 161	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
163	15	ffvelrnda 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
164	29	ffvelrnda 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. CC )
165	163, 164	jca 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
166	121, 122, 165	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) )
167		simpll3 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
168	167	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
169		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) )
170	169	3imp 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
171	170	3adant1l 1256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
172		oveq1 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c - X ) = ( ( F ` z ) - X ) )
173	172	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( c - X ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) )
174	173	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( c - X ) ) < a <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a ) )
175	174	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) ) )
176		oveq1 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` z ) -> ( c x. d ) = ( ( F ` z ) x. d ) )
177	176	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) )
178	177	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` z ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) )
179	178	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
180	175, 179	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
181		oveq1 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( d - Y ) = ( ( G ` z ) - Y ) )
182	181	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( d - Y ) ) = ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) )
183	182	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( d - Y ) ) < b <-> ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) )
184	183	anbi2d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) )
185		oveq2 6309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) x. d ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
186	185	oveq1d 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) )
187	186	fveq2d 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) )
188	187	breq1d 4430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w <-> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
189	184, 188	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) <-> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
190	180, 189	rspc2v 3191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> ( ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
191	166, 168, 171, 190	syl3c 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( X x. Y ) ) ) < w )
192	162, 191	eqbrtrd 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) /\ z e. A /\ ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w )
193	192	3exp 1204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> ( z e. A -> ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
194	118, 193	ralrimi 2825	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) /\ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
195	194	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
196	195	reximdva 2900	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - X ) ) < a /\ ( abs ` ( ( G ` z ) - Y ) ) < b ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
197	115, 196	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. RR+ ) /\ ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) /\ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
198	197	3exp 1204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) ) )
199	198	rexlimdvv 2923	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> ( E. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. CC A. d e. CC ( ( ( abs ` ( c - X ) ) < a /\ ( abs ` ( d - Y ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c x. d ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) )
200	12, 199	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. RR+ ) -> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
201	200	ralrimiva 2839	. 2 |- ( ph -> A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) )
202	148, 124	fmptd 6057	. . 3 |- ( ph -> H : A --> CC )
203	202, 20, 21	ellimc3 22820	. 2 |- ( ph -> ( ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) <-> ( ( X x. Y ) e. CC /\ A. w e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= D /\ ( abs ` ( z - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( H ` z ) - ( X x. Y ) ) ) < w ) ) ) )
204	7, 201, 203	mpbir2and 930	1 |- ( ph -> ( X x. Y ) e. ( H lim CC D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420   |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   RR+crp 11302   abscabs 13285   lim CC climc 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-rest 15308  df-topn 15309  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cnp 20230  df-xms 21321  df-ms 21322  df-limc 22807

This theorem is referenced by:  reclimc  37553  divlimc  37556  fourierdlem73  37862  fourierdlem76  37865  fourierdlem84  37873  fourierdlem85  37874  fourierdlem88  37877