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Theorem mullimc 37515
Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimc.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
mullimc.g  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
mullimc.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
mullimc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
mullimc.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
mullimc.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( F lim
CC  D ) )
mullimc.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
mullimc  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, X    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)    Y( x)

Proof of Theorem mullimc
Dummy variables  a 
b  e  f  y  z  w  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22816 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 mullimc.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 limccl 22816 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 mullimc.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
73, 6mulcld 9663 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  CC )
8 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
93adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  X  e.  CC )
106adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  Y  e.  CC )
11 mulcn2 13646 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR+  /\  X  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
13 mullimc.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
14 mullimc.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
1513, 14fmptd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1614, 13dmmptd 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
17 limcrcl 22815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1918simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
2016, 19eqsstr3d 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
2118simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2215, 20, 21ellimc3 22820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( X  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) ) )
232, 22mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
2423simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )
2524r19.21bi 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a ) )
2625adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a ) )
27 mullimc.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 mullimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
3029, 20, 21ellimc3 22820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( Y  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
315, 30mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
3231simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
3332r19.21bi 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )
3433adantrl 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )
35 reeanv 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  <->  ( E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) ) )
3626, 34, 35sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
37 ifcl 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
38373ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
39 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )
40 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
41 nfra1 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)
42 nfra1 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
)
4341, 42nfan 1984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
4439, 40, 43nf3an 1986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
45 simp11l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
46 simp1rl 1070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
47463ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
4845, 47jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ )
)
49 simp12 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
50 simp13l 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )
5148, 49, 50jca31 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
52 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
) )
53 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
54 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
55 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  ->  ph )
56553ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
57 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
58 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
59 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ph )
60 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  A
)
6120sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
6259, 60, 61syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  CC )
6359, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  D  e.  CC )
6462, 63subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( z  -  D )  e.  CC )
6564abscld 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  e.  RR )
66 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
6766ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR )
68673ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  e  e.  RR )
69 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  RR+  ->  f  e.  RR )
7069ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  f  e.  RR )
71703ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  f  e.  RR )
7268, 71ifcld 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR )
73 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
74 min1 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  e
)
7568, 71, 74syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
e )
7665, 72, 68, 73, 75ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7756, 57, 53, 58, 76syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7854, 77jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
) )
79 rsp 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
8052, 53, 78, 79syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )
8151, 80syld3an1 1310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)
82 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
8382, 46jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ ) )
84 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
85 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
8683, 84, 85jca31 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
87 simp1r 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
88 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
89 simp3l 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
90 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  ph )
91903ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
92 simp1lr 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
93 simp3r 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
94 min2 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  f
)
9568, 71, 94syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
f )
9665, 72, 71, 73, 95ltletrd 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9791, 92, 88, 93, 96syl211anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9889, 97jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
) )
99 rsp 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
10087, 88, 98, 99syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )
10186, 100syl3an1 1297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
)
10281, 101jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
1031023exp 1204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
10444, 103ralrimi 2825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
105 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )
106105anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) ) )
107106imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) )  <-> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
108107ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
109108rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
11038, 104, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
1111103exp 1204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) ) )
112111rexlimdvv 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
11336, 112mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
114113adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
1151143adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
116 nfv 1751 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )
117 nfra1 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
118116, 117nfan 1984 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
119 simp1l 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  ph )
120119ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
1211203ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ph )
122 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  z  e.  A
)
123 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  z  e.  A )
124 mullimc.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
125 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
126124, 125nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x H
127 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
z
128126, 127nffv 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( H `  z
)
129 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
13014, 129nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
131130, 127nffv 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F `  z
)
132 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x  x.
133 nfmpt1 4510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
13428, 133nfcxfr 2582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x G
135134, 127nffv 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( G `  z
)
136131, 132, 135nfov 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)
137128, 136nfeq 2595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )
138123, 137nfim 1976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )
139 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
140139anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  z  e.  A ) ) )
141 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( H `  x )  =  ( H `  z ) )
142 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
143 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
144142, 143oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
145141, 144eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) )  <->  ( H `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
146140, 145imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) ) )
147 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
14813, 27mulcld 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
149124fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( B  x.  C ) )
150147, 148, 149syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( B  x.  C ) )
15114fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  =  B )
152147, 13, 151syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
153152eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( F `  x ) )
15428fvmpt2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  =  C )
155147, 27, 154syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  C )
156155eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =  ( G `  x ) )
157153, 156oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )
158150, 157eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )
159138, 146, 158chvar 2067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
160159oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( X  x.  Y
) ) )
161160fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
162121, 122, 161syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( X  x.  Y )
) ) )
16315ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
16429ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
165163, 164jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC ) )
166121, 122, 165syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( G `
 z )  e.  CC ) )
167 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )
1681673ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
169 rsp 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
1701693imp 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
1711703adant1l 1256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
172 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  -  X )  =  ( ( F `
 z )  -  X ) )
173172fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( c  -  X ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) ) )
174173breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
) )
175174anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( d  -  Y
) )  <  b
) ) )
176 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  d ) )
177176oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )
178177fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
179178breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y )
) )  <  w
) )
180175, 179imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( c  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
181 oveq1 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
d  -  Y )  =  ( ( G `
 z )  -  Y ) )
182181fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( d  -  Y ) )  =  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) ) )
183182breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
184183anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) ) )
185 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
)  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
186185oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( X  x.  Y
) ) )
187186fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
188187breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( X  x.  Y )
) )  <  w
) )
189184, 188imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
190180, 189rspc2v 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC )  -> 
( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
191166, 168, 171, 190syl3c 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )
192162, 191eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )
1931923exp 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
194118, 193ralrimi 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
195194ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
196195reximdva 2900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) ) )
197115, 196mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
1981973exp 1204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) ) )
199198rexlimdvv 2923 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) ) )
20012, 199mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )
201200ralrimiva 2839 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
202148, 124fmptd 6057 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
203202, 20, 21ellimc3 22820 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( X  x.  Y )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) ) )
2047, 201, 203mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776    C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   RR+crp 11302   abscabs 13285   lim CC climc 22803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-rest 15308  df-topn 15309  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cnp 20230  df-xms 21321  df-ms 21322  df-limc 22807
This theorem is referenced by:  reclimc  37553  divlimc  37556  fourierdlem73  37862  fourierdlem76  37865  fourierdlem84  37873  fourierdlem85  37874  fourierdlem88  37877
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