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Theorem mullimc 37793
Description: Limit of the product of two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mullimc.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
mullimc.g  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
mullimc.h  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
mullimc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
mullimc.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
mullimc.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( F lim
CC  D ) )
mullimc.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G lim
CC  D ) )
Assertion
Ref Expression
mullimc  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    x, X    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)    Y( x)

Proof of Theorem mullimc
Dummy variables  a 
b  e  f  y  z  w  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 22909 . . . 4  |-  ( F lim
CC  D )  C_  CC
2 mullimc.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( F lim
CC  D ) )
31, 2sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 limccl 22909 . . . 4  |-  ( G lim
CC  D )  C_  CC
5 mullimc.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( G lim
CC  D ) )
64, 5sseldi 3416 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
73, 6mulcld 9681 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  CC )
8 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
93adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  X  e.  CC )
106adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  Y  e.  CC )
11 mulcn2 13736 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  RR+  /\  X  e.  CC  /\  Y  e.  CC )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
128, 9, 10, 11syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
13 mullimc.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
14 mullimc.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
1513, 14fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
1614, 13dmmptd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
17 limcrcl 22908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( F lim CC  D )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
182, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC  /\  D  e.  CC ) )
1918simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
2016, 19eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
2118simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2215, 20, 21ellimc3 22913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( F lim CC  D )  <-> 
( X  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) ) )
232, 22mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  e.  CC  /\ 
A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
2423simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. a  e.  RR+  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )
2524r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  RR+ )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a ) )
2625adantrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a ) )
27 mullimc.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
28 mullimc.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  C )
2927, 28fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : A --> CC )
3029, 20, 21ellimc3 22913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( G lim CC  D )  <-> 
( Y  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
315, 30mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  CC  /\ 
A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
3231simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. b  e.  RR+  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
3332r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  b  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )
3433adantrl 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )
35 reeanv 2944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  <->  ( E. e  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  E. f  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) ) )
3626, 34, 35sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
37 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
38373ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR+ )
39 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )
40 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
41 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)
42 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
)
4341, 42nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
4439, 40, 43nf3an 2033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
45 simp11l 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
46 simp1rl 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
47463ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  a  e.  RR+ )
4845, 47jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ )
)
49 simp12 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
50 simp13l 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )
5148, 49, 50jca31 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( (
( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
52 simp1r 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
) )
53 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
54 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
55 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  ->  ph )
56553ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
57 simp1lr 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
58 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
59 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ph )
60 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  A
)
6120sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  CC )
6259, 60, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  z  e.  CC )
6359, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  D  e.  CC )
6462, 63subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( z  -  D )  e.  CC )
6564abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  e.  RR )
66 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  e.  RR+  ->  e  e.  RR )
6766ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR )
68673ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  e  e.  RR )
69 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  RR+  ->  f  e.  RR )
7069ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  ->  f  e.  RR )
71703ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  f  e.  RR )
7268, 71ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  e.  RR )
73 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
74 min1 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  e
)
7568, 71, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
e )
7665, 72, 68, 73, 75ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7756, 57, 53, 58, 76syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )
7854, 77jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
) )
79 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  e )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) ) )
8052, 53, 78, 79syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )
8151, 80syld3an1 1338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)
82 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
8382, 46jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ( ph  /\  a  e.  RR+ ) )
84 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
85 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
8683, 84, 85jca31 543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
87 simp1r 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
)  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
88 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  e.  A
)
89 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  z  =/=  D
)
90 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  ph )
91903ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ph )
92 simp1lr 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )
93 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f , 
e ,  f ) )
94 min2 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( e  e.  RR  /\  f  e.  RR )  ->  if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  <_  f
)
9568, 71, 94syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  <_ 
f )
9665, 72, 71, 73, 95ltletrd 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  A  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9791, 92, 88, 93, 96syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )
9889, 97jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  f
) )
99 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )  ->  ( z  e.  A  ->  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
10087, 88, 98, 99syl3c 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  a  e.  RR+ )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  /\  z  e.  A  /\  ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
if ( e  <_ 
f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )
10186, 100syl3an1 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
)
10281, 101jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )
)  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  e
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
)  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  f )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
1031023exp 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
10444, 103ralrimi 2800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
105 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) )
106105anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  <->  ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) ) ) )
107106imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) )  <-> 
( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
108107ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  if ( e  <_  f ,  e ,  f )  -> 
( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) )  <->  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
109108rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( e  <_ 
f ,  e ,  f )  e.  RR+  /\ 
A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  if ( e  <_  f ,  e ,  f ) )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
11038, 104, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  /\  ( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  /\  ( A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
e )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a )  /\  A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  f )  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
1111103exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  (
( e  e.  RR+  /\  f  e.  RR+ )  ->  ( ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) ) )
112111rexlimdvv 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  ( E. e  e.  RR+  E. f  e.  RR+  ( A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  e )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
f )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  Y ) )  < 
b ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
11336, 112mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
114113adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
1151143adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )
116 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )
117 nfra1 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
118116, 117nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )
119 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  ph )
120119ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ph )
1211203ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ph )
122 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  z  e.  A
)
123 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  z  e.  A )
124 mullimc.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  H  =  ( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
125 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( B  x.  C
) )
126124, 125nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x H
127 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
z
128126, 127nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( H `  z
)
129 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
13014, 129nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x F
131130, 127nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( F `  z
)
132 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x  x.
133 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
13428, 133nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x G
135134, 127nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
( G `  z
)
136131, 132, 135nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)
137128, 136nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )
138123, 137nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) )
139 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
140139anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  /\  x  e.  A )  <->  ( ph  /\  z  e.  A ) ) )
141 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( H `  x )  =  ( H `  z ) )
142 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
144142, 143oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
145141, 144eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) )  <->  ( H `  z )  =  ( ( F `  z
)  x.  ( G `
 z ) ) ) )
146140, 145imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  =  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  =  ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) ) ) ) )
147 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
14813, 27mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
149124fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  ->  ( H `  x )  =  ( B  x.  C ) )
150147, 148, 149syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( B  x.  C ) )
15114fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  x
)  =  B )
152147, 13, 151syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  =  B )
153152eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  ( F `  x ) )
15428fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  CC )  ->  ( G `  x
)  =  C )
155147, 27, 154syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  C )
156155eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  =  ( G `  x ) )
157153, 156oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )
158150, 157eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )
159138, 146, 158chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
160159oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( X  x.  Y
) ) )
161160fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
162121, 122, 161syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( X  x.  Y )
) ) )
16315ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
16429ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
165163, 164jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC ) )
166121, 122, 165syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( F `
 z )  e.  CC  /\  ( G `
 z )  e.  CC ) )
167 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )
1681673ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
169 rsp 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) ) )
1701693imp 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
1711703adant1l 1284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )
172 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  -  X )  =  ( ( F `
 z )  -  X ) )
173172fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( c  -  X ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) ) )
174173breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a
) )
175174anbi1d 719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( d  -  Y
) )  <  b
) ) )
176 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
c  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  d ) )
177176oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )
178177fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
179178breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y )
) )  <  w
) )
180175, 179imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( F `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( c  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
181 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
d  -  Y )  =  ( ( G `
 z )  -  Y ) )
182181fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( d  -  Y ) )  =  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) ) )
183182breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )
184183anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  <->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) ) )
185 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( F `  z
)  x.  d )  =  ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) ) )
186185oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) )  =  ( ( ( F `  z )  x.  ( G `  z ) )  -  ( X  x.  Y
) ) )
187186fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  z )  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) ) )
188187breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 z )  x.  ( G `  z
) )  -  ( X  x.  Y )
) )  <  w
) )
189184, 188imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  ( G `  z )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
d  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  <-> 
( ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
190180, 189rspc2v 3147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( G `  z )  e.  CC )  -> 
( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
191166, 168, 171, 190syl3c 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( ( F `  z )  x.  ( G `  z )
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )
192162, 191eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) ) )  /\  z  e.  A  /\  (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )
1931923exp 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  ( z  e.  A  ->  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
194118, 193ralrimi 2800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y ) )  <  b ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
195194ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A. z  e.  A  (
( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  z )  -  X
) )  <  a  /\  ( abs `  (
( G `  z
)  -  Y ) )  <  b ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) )
196195reximdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  -> 
( E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/= 
D  /\  ( abs `  ( z  -  D
) )  <  y
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  X ) )  < 
a  /\  ( abs `  ( ( G `  z )  -  Y
) )  <  b
) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) ) )
197115, 196mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  /\  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
1981973exp 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( (
a  e.  RR+  /\  b  e.  RR+ )  ->  ( A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  (
( ( abs `  (
c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  <  b )  -> 
( abs `  (
( c  x.  d
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  (
z  -  D ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) ) )
199198rexlimdvv 2877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  RR+  E. b  e.  RR+  A. c  e.  CC  A. d  e.  CC  ( ( ( abs `  ( c  -  X ) )  <  a  /\  ( abs `  ( d  -  Y ) )  < 
b )  ->  ( abs `  ( ( c  x.  d )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) ) )
20012, 199mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( H `
 z )  -  ( X  x.  Y
) ) )  < 
w ) )
201200ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) )
202148, 124fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> CC )
203202, 20, 21ellimc3 22913 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  Y )  e.  ( H lim CC  D )  <-> 
( ( X  x.  Y )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z  =/=  D  /\  ( abs `  ( z  -  D ) )  <  y )  -> 
( abs `  (
( H `  z
)  -  ( X  x.  Y ) ) )  <  w ) ) ) )
2047, 201, 203mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( X  x.  Y
)  e.  ( H lim
CC  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   RR+crp 11325   abscabs 13374   lim CC climc 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-fz 11811  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cnp 20321  df-xms 21413  df-ms 21414  df-limc 22900
This theorem is referenced by:  reclimc  37831  divlimc  37834  fourierdlem73  38155  fourierdlem76  38158  fourierdlem84  38166  fourierdlem85  38167  fourierdlem88  38170
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