Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem88 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem88 38058
 Description: Given a piecewise continuous function , a continuous function and a continuous function , the function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1 ..^
fourierdlem88.f
fourierdlem88.x
fourierdlem88.y lim
fourierdlem88.w lim
fourierdlem88.h
fourierdlem88.k
fourierdlem88.u
fourierdlem88.n
fourierdlem88.s
fourierdlem88.g
fourierdlem88.m
fourierdlem88.v
fourierdlem88.fcn ..^
fourierdlem88.r ..^ lim
fourierdlem88.l ..^ lim
fourierdlem88.q
fourierdlem88.o ..^
fourierdlem88.i
fourierdlem88.ifn ..^
fourierdlem88.c lim
fourierdlem88.d lim
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,)   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2 ..^
2 fourierdlem88.m . 2
3 pire 23413 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4
54renegcld 10046 . . 3
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9 ..^
87fourierdlem2 37971 . . . . . . . 8 ..^
92, 8syl 17 . . . . . . 7 ..^
106, 9mpbid 214 . . . . . 6 ..^
1110simpld 461 . . . . 5
12 elmapi 7493 . . . . 5
13 frn 5735 . . . . 5
1411, 12, 133syl 18 . . . 4
15 fourierdlem88.x . . . 4
1614, 15sseldd 3433 . . 3
17 fourierdlem88.q . . 3
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 37983 . 2
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7
20 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
2219, 21fssresd 5750 . . . . . . . 8
23 ax-resscn 9596 . . . . . . . . 9
2421, 23syl6ss 3444 . . . . . . . 8
25 eqid 2451 . . . . . . . . 9 fld fld
26 pnfxr 11412 . . . . . . . . . 10
2726a1i 11 . . . . . . . . 9
2816ltpnfd 11423 . . . . . . . . 9
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 37727 . . . . . . . 8 fld
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8 lim
3122, 24, 29, 30limcrecl 37709 . . . . . . 7
32 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10
3332a1i 11 . . . . . . . . 9
3419, 33fssresd 5750 . . . . . . . 8
3533, 23syl6ss 3444 . . . . . . . 8
36 mnfxr 11414 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
3816mnfltd 11426 . . . . . . . . 9
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 37726 . . . . . . . 8 fld
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8 lim
4134, 35, 39, 40limcrecl 37709 . . . . . . 7
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 38025 . . . . . 6
4645fnvinran 37335 . . . . 5
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8
4948fourierdlem5 37974 . . . . . . 7
5047, 49syl 17 . . . . . 6
5150ffvelrnda 6022 . . . . 5
5246, 51remulcld 9671 . . . 4
5352recnd 9669 . . 3
54 fourierdlem88.g . . 3
5553, 54fmptd 6046 . 2
56 ssid 3451 . . . 4
57 cncfss 21931 . . . 4
5823, 56, 57mp2an 678 . . 3
5919adantr 467 . . . 4 ..^
601, 2, 18fourierdlem15 37984 . . . . . 6
6160adantr 467 . . . . 5 ..^
62 elfzofz 11935 . . . . . 6 ..^
6362adantl 468 . . . . 5 ..^
6461, 63ffvelrnd 6023 . . . 4 ..^
65 fzofzp1 12008 . . . . . 6 ..^
6665adantl 468 . . . . 5 ..^
6761, 66ffvelrnd 6023 . . . 4 ..^
6816adantr 467 . . . 4 ..^
697, 2, 6, 15fourierdlem12 37981 . . . . . 6 ..^
7068recnd 9669 . . . . . . . 8 ..^
7170addid2d 9834 . . . . . . 7 ..^
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
7372renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7473, 68readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7572, 68readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7674, 75iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
777, 2, 6fourierdlem15 37984 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
7978, 63ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8076, 79sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8180, 68resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11 ..^
8217fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11
8363, 81, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . 10 ..^
8483oveq1d 6305 . . . . . . . . 9 ..^
8580recnd 9669 . . . . . . . . . 10 ..^
8685, 70npcand 9990 . . . . . . . . 9 ..^
8784, 86eqtrd 2485 . . . . . . . 8 ..^
88 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14
9089cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . 13
9117, 90eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
93 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9493fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9594oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11 ..^
9678, 66ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9776, 96sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9897, 68resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11 ..^
9992, 95, 66, 98fvmptd 5954 . . . . . . . . . 10 ..^
10099oveq1d 6305 . . . . . . . . 9 ..^
10197recnd 9669 . . . . . . . . . 10 ..^
102101, 70npcand 9990 . . . . . . . . 9 ..^
103100, 102eqtrd 2485 . . . . . . . 8 ..^
10487, 103oveq12d 6308 . . . . . . 7 ..^
10571, 104eleq12d 2523 . . . . . 6 ..^
10669, 105mtbird 303 . . . . 5 ..^
107 0red 9644 . . . . . 6 ..^
10883, 81eqeltrd 2529 . . . . . 6 ..^
10999, 98eqeltrd 2529 . . . . . 6 ..^
110107, 108, 109, 68eliooshift 37604 . . . . 5 ..^
111106, 110mtbird 303 . . . 4 ..^
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5 ..^
113104reseq2d 5105 . . . . 5 ..^
114104oveq1d 6305 . . . . 5 ..^
115112, 113, 1143eltr4d 2544 . . . 4 ..^
11631adantr 467 . . . 4 ..^
11741adantr 467 . . . 4 ..^
11847adantr 467 . . . 4 ..^
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 38048 . . 3 ..^
12058, 119sseldi 3430 . 2 ..^
121 eqid 2451 . . . 4
122 eqid 2451 . . . 4
123 eqid 2451 . . . 4
1243renegcli 9935 . . . . . . . . . . 11
125124rexri 9693 . . . . . . . . . 10
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
1273rexri 9693 . . . . . . . . . 10
128127a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
12961adantr 467 . . . . . . . . 9 ..^
130 simplr 762 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 37977 . . . . . . . 8 ..^
132 ioossicc 11720 . . . . . . . . . 10
133132sseli 3428 . . . . . . . . 9
134133adantl 468 . . . . . . . 8 ..^
135131, 134sseldd 3433 . . . . . . 7 ..^
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 37978 . . . . . . . . . 10
137136ad2antrr 732 . . . . . . . . 9 ..^
138137, 135ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8 ..^
13943fourierdlem43 38014 . . . . . . . . . 10
140139a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
141140, 135ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8 ..^
142138, 141remulcld 9671 . . . . . . 7 ..^
14344fvmpt2 5957 . . . . . . 7
144135, 142, 143syl2anc 667 . . . . . 6 ..^
145144, 142eqeltrd 2529 . . . . 5 ..^
146145recnd 9669 . . . 4 ..^
14747, 48fourierdlem18 37987 . . . . . . . . 9
148 cncff 21925 . . . . . . . . 9
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8
150149adantr 467 . . . . . . 7 ..^
151150adantr 467 . . . . . 6 ..^
152151, 135ffvelrnd 6023 . . . . 5 ..^
153152recnd 9669 . . . 4 ..^
154 eqid 2451 . . . . . 6
155 eqid 2451 . . . . . 6
156 eqid 2451 . . . . . 6
157138recnd 9669 . . . . . 6 ..^
158141recnd 9669 . . . . . 6 ..^
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8 ..^ lim
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9 ..^
16223a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
163161, 162fssd 5738 . . . . . . . 8 ..^
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8 lim
165 eqid 2451 . . . . . . . 8
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 38045 . . . . . . 7 ..^ lim
167136adantr 467 . . . . . . . . 9 ..^
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ..^
170 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 37977 . . . . . . . . . 10 ..^
172132, 171syl5ss 3443 . . . . . . . . 9 ..^
173167, 172feqresmpt 5919 . . . . . . . 8 ..^
174173oveq1d 6305 . . . . . . 7 ..^ lim lim
175166, 174eleqtrd 2531 . . . . . 6 ..^ lim
176 limcresi 22840 . . . . . . . 8 lim lim
17743fourierdlem62 38032 . . . . . . . . . 10
178177a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
179178, 64cnlimci 22844 . . . . . . . 8 ..^ lim
180176, 179sseldi 3430 . . . . . . 7 ..^ lim
181139a1i 11 . . . . . . . . 9 ..^
182181, 172feqresmpt 5919 . . . . . . . 8 ..^
183182oveq1d 6305 . . . . . . 7 ..^ lim lim
184180, 183eleqtrd 2531 . . . . . 6 ..^ lim
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 37696 . . . . 5 ..^ lim
186144eqcomd 2457 . . . . . . 7 ..^
187186mpteq2dva 4489 . . . . . 6 ..^
188187oveq1d 6305 . . . . 5 ..^ lim lim
189185, 188eleqtrd 2531 . . . 4 ..^ lim
190 limcresi 22840 . . . . . 6 lim lim
191147adantr 467 . . . . . . 7 ..^
192191, 64cnlimci 22844 . . . . . 6 ..^ lim
193190, 192sseldi 3430 . . . . 5 ..^ lim
194150, 172feqresmpt 5919 . . . . . 6 ..^
195194oveq1d 6305 . . . . 5 ..^ lim lim
196193, 195eleqtrd 2531 . . . 4 ..^ lim
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 37696 . . 3 ..^ lim
19852, 54fmptd 6046 . . . . . . 7
199198adantr 467 . . . . . 6 ..^
200199, 172feqresmpt 5919 . . . . 5 ..^
201145, 152remulcld 9671 . . . . . . 7 ..^
20254fvmpt2 5957 . . . . . . 7
203135, 201, 202syl2anc 667 . . . . . 6 ..^
204203mpteq2dva 4489 . . . . 5 ..^
205200, 204eqtr2d 2486 . . . 4 ..^
206205oveq1d 6305 . . 3 ..^ lim lim
207197, 206eleqtrd 2531 . 2 ..^ lim
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8 ..^ lim
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8 lim
210 eqid 2451 . . . . . . . 8
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 38044 . . . . . . 7 ..^ lim
212173oveq1d 6305 . . . . . . 7 ..^ lim lim
213211, 212eleqtrd 2531 . . . . . 6 ..^ lim
214 limcresi 22840 . . . . . . . 8 lim lim
215178, 67cnlimci 22844 . . . . . . . 8 ..^ lim
216214, 215sseldi 3430 . . . . . . 7 ..^ lim
217182oveq1d 6305 . . . . . . 7 ..^ lim lim
218216, 217eleqtrd 2531 . . . . . 6 ..^ lim
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 37696 . . . . 5 ..^ lim
220187oveq1d 6305 . . . . 5 ..^ lim lim
221219, 220eleqtrd 2531 . . . 4 ..^ lim
222 limcresi 22840 . . . . . 6 lim lim
223191, 67cnlimci 22844 . . . . . 6 ..^ lim
224222, 223sseldi 3430 . . . . 5 ..^ lim
225194oveq1d 6305 . . . . 5 ..^ lim lim
226224, 225eleqtrd 2531 . . . 4 ..^ lim
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 37696 . . 3 ..^ lim
228205oveq1d 6305 . . 3 ..^ lim lim
229227, 228eleqtrd 2531 . 2 ..^ lim
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 38039 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  crab 2741   wss 3404  cif 3881   class class class wbr 4402   cmpt 4461   crn 4835   cres 4836  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cpnf 9672   cmnf 9673  cxr 9674   clt 9675   cmin 9860  cneg 9861   cdiv 10269  cn 10609  c2 10659  cioo 11635  cicc 11638  cfz 11784  ..^cfzo 11915  csin 14116  cpi 14119  ctopn 15320  ℂfldccnfld 18970  ccncf 21908  cibl 22575   lim climc 22817   cdv 22818 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822 This theorem is referenced by:  fourierdlem95  38065  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074
 Copyright terms: Public domain W3C validator