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Theorem fourierdlem88 38058
Description: Given a piecewise continuous function  F, a continuous function  K and a continuous function  S, the function  G is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem88.1  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem88.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem88.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
fourierdlem88.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem88.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem88.h  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
fourierdlem88.k  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem88.u  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
fourierdlem88.n  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
fourierdlem88.s  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
fourierdlem88.g  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
fourierdlem88.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fourierdlem88.v  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
fourierdlem88.fcn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem88.r  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
fourierdlem88.l  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
fourierdlem88.q  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
fourierdlem88.o  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
fourierdlem88.i  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
fourierdlem88.ifn  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
fourierdlem88.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
fourierdlem88.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem88  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Distinct variable groups:    C, s    D, s    F, s    i, G, s    H, s    K, s    L, s    i, M, m, p    M, s    N, s    Q, i, p    Q, s    R, s    S, s    i, V, p    V, s    W, s    i, X, m, p    X, s    Y, s    ph, i,
s
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    C( i, m, p)    D( i, m, p)    P( i, m, s, p)    Q( m)    R( i, m, p)    S( i, m, p)    U( i, m, s, p)    F( i, m, p)    G( m, p)    H( i, m, p)    I(
i, m, s, p)    K( i, m, p)    L( i, m, p)    N( i, m, p)    O( i, m, s, p)    V( m)    W( i, m, p)    Y( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem88
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem88.o . 2  |-  O  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  = 
-u pi  /\  (
p `  m )  =  pi )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
2 fourierdlem88.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 pire 23413 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
54renegcld 10046 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u pi  e.  RR )
6 fourierdlem88.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  ( P `
 M ) )
7 fourierdlem88.1 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( m  e.  NN  |->  { p  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... m ) )  |  ( ( ( p `
 0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  (
p `  m )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ m ) ( p `
 i )  < 
( p `  (
i  +  1 ) ) ) } )
87fourierdlem2 37971 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <->  ( V  e.  ( RR  ^m  (
0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
92, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( P `  M )  <-> 
( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
106, 9mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M ) )  /\  ( ( ( V `  0 )  =  ( -u pi  +  X )  /\  ( V `  M )  =  ( pi  +  X ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ M ) ( V `
 i )  < 
( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
1110simpld 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  ( RR 
^m  ( 0 ... M ) ) )
12 elmapi 7493 . . . . 5  |-  ( V  e.  ( RR  ^m  ( 0 ... M
) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> RR )
13 frn 5735 . . . . 5  |-  ( V : ( 0 ... M ) --> RR  ->  ran 
V  C_  RR )
1411, 12, 133syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  V  C_  RR )
15 fourierdlem88.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ran  V
)
1614, 15sseldd 3433 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
17 fourierdlem88.q . . 3  |-  Q  =  ( i  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  i )  -  X
) )
185, 4, 16, 7, 1, 2, 6, 17fourierdlem14 37983 . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( O `
 M ) )
19 fourierdlem88.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
20 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( X (,) +oo )  C_  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  RR )
2219, 21fssresd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
23 ax-resscn 9596 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  CC
2421, 23syl6ss 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) +oo )  C_  CC )
25 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
26 pnfxr 11412 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
2816ltpnfd 11423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  < +oo )
2925, 27, 16, 28lptioo1cn 37727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( X (,) +oo ) ) )
30 fourierdlem88.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( F  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
3122, 24, 29, 30limcrecl 37709 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
32 ioossre 11696 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) X )  C_  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  RR )
3419, 33fssresd 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) : ( -oo (,) X ) --> RR )
3533, 23syl6ss 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -oo (,) X
)  C_  CC )
36 mnfxr 11414 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
3816mnfltd 11426 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> -oo  <  X )
3925, 37, 16, 38lptioo2cn 37726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
limPt `  ( TopOpen ` fld ) ) `  ( -oo (,) X ) ) )
40 fourierdlem88.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  ( ( F  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
4134, 35, 39, 40limcrecl 37709 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR )
42 fourierdlem88.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  0 ,  ( ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  if ( 0  <  s ,  Y ,  W ) )  / 
s ) ) )
43 fourierdlem88.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  if ( s  =  0 ,  1 ,  ( s  / 
( 2  x.  ( sin `  ( s  / 
2 ) ) ) ) ) )
44 fourierdlem88.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
4519, 16, 31, 41, 42, 43, 44fourierdlem55 38025 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
4645fnvinran 37335 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
47 fourierdlem88.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
48 fourierdlem88.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( sin `  (
( N  +  ( 1  /  2 ) )  x.  s ) ) )
4948fourierdlem5 37974 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5047, 49syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
5150ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
5246, 51remulcld 9671 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
5352recnd 9669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  CC )
54 fourierdlem88.g . . 3  |-  G  =  ( s  e.  (
-u pi [,] pi )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
5553, 54fmptd 6046 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
56 ssid 3451 . . . 4  |-  CC  C_  CC
57 cncfss 21931 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR )  C_  (
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
5823, 56, 57mp2an 678 . . 3  |-  ( ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> RR )  C_  (
( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC )
5919adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F : RR --> RR )
601, 2, 18fourierdlem15 37984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q : ( 0 ... M ) --> (
-u pi [,] pi ) )
6160adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
62 elfzofz 11935 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  i  e.  ( 0 ... M
) )
6362adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0 ... M ) )
6461, 63ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  (
-u pi [,] pi ) )
65 fzofzp1 12008 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 0..^ M )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
6665adantl 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
6761, 66ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  (
-u pi [,] pi ) )
6816adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  RR )
697, 2, 6, 15fourierdlem12 37981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  X  e.  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )
7068recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  X  e.  CC )
7170addid2d 9834 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( 0  +  X )  =  X )
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  pi  e.  RR )
7372renegcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -u pi  e.  RR )
7473, 68readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( -u pi  +  X )  e.  RR )
7572, 68readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( pi  +  X )  e.  RR )
7674, 75iccssred 37602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( -u pi  +  X ) [,] ( pi  +  X
) )  C_  RR )
777, 2, 6fourierdlem15 37984 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi  +  X ) [,] (
pi  +  X ) ) )
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  V : ( 0 ... M ) --> ( ( -u pi  +  X ) [,] (
pi  +  X ) ) )
7978, 63ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  ( ( -u pi  +  X ) [,] (
pi  +  X ) ) )
8076, 79sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  RR )
8180, 68resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 i )  -  X )  e.  RR )
8217fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... M )  /\  ( ( V `  i )  -  X
)  e.  RR )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
8363, 81, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  =  ( ( V `  i
)  -  X ) )
8483oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i )  +  X )  =  ( ( ( V `  i )  -  X
)  +  X ) )
8580recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  i )  e.  CC )
8685, 70npcand 9990 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( V `  i )  -  X )  +  X )  =  ( V `  i ) )
8784, 86eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i )  +  X )  =  ( V `  i ) )
88 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  j  ->  ( V `  i )  =  ( V `  j ) )
8988oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  j  ->  (
( V `  i
)  -  X )  =  ( ( V `
 j )  -  X ) )
9089cbvmptv 4495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  i )  -  X ) )  =  ( j  e.  ( 0 ... M
)  |->  ( ( V `
 j )  -  X ) )
9117, 90eqtri 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M ) 
|->  ( ( V `  j )  -  X
) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Q  =  ( j  e.  ( 0 ... M )  |->  ( ( V `  j
)  -  X ) ) )
93 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  j  =  ( i  +  1 ) )  ->  j  =  ( i  +  1 ) )
9493fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  j  =  ( i  +  1 ) )  ->  ( V `  j )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
9594oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  j  =  ( i  +  1 ) )  ->  (
( V `  j
)  -  X )  =  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X ) )
9678, 66ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  ( ( -u pi  +  X ) [,] (
pi  +  X ) ) )
9776, 96sseldd 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
9897, 68resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( V `
 ( i  +  1 ) )  -  X )  e.  RR )
9992, 95, 66, 98fvmptd 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( V `  (
i  +  1 ) )  -  X ) )
10099oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  +  X )  =  ( ( ( V `  ( i  +  1 ) )  -  X
)  +  X ) )
10197recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( V `  ( i  +  1 ) )  e.  CC )
102101, 70npcand 9990 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( V `  ( i  +  1 ) )  -  X )  +  X )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
103100, 102eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  +  X )  =  ( V `  ( i  +  1 ) ) )
10487, 103oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( Q `  i )  +  X ) (,) ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  +  X
) )  =  ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
10571, 104eleq12d 2523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( 0  +  X )  e.  ( ( ( Q `
 i )  +  X ) (,) (
( Q `  (
i  +  1 ) )  +  X ) )  <->  X  e.  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
10669, 105mtbird 303 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  ( 0  +  X )  e.  ( ( ( Q `
 i )  +  X ) (,) (
( Q `  (
i  +  1 ) )  +  X ) ) )
107 0red 9644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  0  e.  RR )
10883, 81eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  i )  e.  RR )
10999, 98eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  e.  RR )
110107, 108, 109, 68eliooshift 37604 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( 0  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  <->  ( 0  +  X )  e.  ( ( ( Q `  i )  +  X
) (,) ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  +  X ) ) ) )
111106, 110mtbird 303 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -.  0  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
112 fourierdlem88.fcn . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
113104reseq2d 5105 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( ( Q `
 i )  +  X ) (,) (
( Q `  (
i  +  1 ) )  +  X ) ) )  =  ( F  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  (
i  +  1 ) ) ) ) )
114104oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( ( Q `  i
)  +  X ) (,) ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  +  X ) ) -cn-> CC )  =  ( ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) )
-cn-> CC ) )
115112, 113, 1143eltr4d 2544 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( F  |`  ( ( ( Q `
 i )  +  X ) (,) (
( Q `  (
i  +  1 ) )  +  X ) ) )  e.  ( ( ( ( Q `
 i )  +  X ) (,) (
( Q `  (
i  +  1 ) )  +  X ) ) -cn-> CC ) )
11631adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  Y  e.  RR )
11741adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  W  e.  RR )
11847adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  RR )
11959, 64, 67, 68, 111, 115, 116, 117, 42, 43, 44, 118, 48, 54fourierdlem78 38048 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> RR ) )
12058, 119sseldi 3430 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) -cn-> CC ) )
121 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) )
122 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( S `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) )
123 eqid 2451 . . . 4  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
1243renegcli 9935 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  e.  RR
125124rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  -u pi  e.  RR*
126125a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
1273rexri 9693 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR*
128127a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  pi  e.  RR* )
12961adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
130 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
131126, 128, 129, 130fourierdlem8 37977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( Q `  i
) [,] ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
C_  ( -u pi [,] pi ) )
132 ioossicc 11720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
133132sseli 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
134133adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( ( Q `  i ) [,] ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
135131, 134sseldd 3433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  s  e.  ( -u pi [,] pi ) )
13619, 16, 31, 41, 42fourierdlem9 37978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
137136ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
138137, 135ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( H `  s )  e.  RR )
13943fourierdlem43 38014 . . . . . . . . . 10  |-  K :
( -u pi [,] pi )
--> RR
140139a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
141140, 135ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  RR )
142138, 141remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  e.  RR )
14344fvmpt2 5957 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s )
)  e.  RR )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) ) )
144135, 142, 143syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  =  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
145144, 142eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  e.  RR )
146145recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( U `  s )  e.  CC )
14747, 48fourierdlem18 37987 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  ( (
-u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
148 cncff 21925 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )  ->  S :
( -u pi [,] pi )
--> RR )
149147, 148syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
150149adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
151150adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
152151, 135ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  RR )
153152recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( S `  s )  e.  CC )
154 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( H `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) )
155 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( K `
 s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) )
156 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )
157138recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( H `  s )  e.  CC )
158141recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( K `  s )  e.  CC )
159 fourierdlem88.r . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  R  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 i ) ) )
160 fourierdlem88.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( RR  _D  F
)
161 fourierdlem88.ifn . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> RR )
16223a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  RR  C_  CC )
163161, 162fssd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( I  |`  ( ( V `  i ) (,) ( V `  ( i  +  1 ) ) ) ) : ( ( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) --> CC )
164 fourierdlem88.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( I  |`  ( X (,) +oo ) ) lim CC  X ) )
165 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  if ( ( V `  i
)  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  =  if ( ( V `  i
)  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )
16616, 7, 19, 15, 30, 41, 42, 2, 6, 159, 17, 1, 160, 163, 164, 165fourierdlem75 38045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
167136adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  H : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
168125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  -u pi  e.  RR* )
169127a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  pi  e.  RR* )
170 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  i  e.  ( 0..^ M ) )
171168, 169, 61, 170fourierdlem8 37977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) [,] ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
172132, 171syl5ss 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  C_  ( -u pi [,] pi ) )
173167, 172feqresmpt 5919 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) )
174173oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
175166, 174eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  i )  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  i
) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
176 limcresi 22840 . . . . . . . 8  |-  ( K lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
17743fourierdlem62 38032 . . . . . . . . . 10  |-  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
178177a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
179178, 64cnlimci 22844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( K lim
CC  ( Q `  i ) ) )
180176, 179sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
181139a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  K : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
182181, 172feqresmpt 5919 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) )
183182oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
184180, 183eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
185154, 155, 156, 157, 158, 175, 184mullimc 37696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
186144eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( H `  s
)  x.  ( K `
 s ) )  =  ( U `  s ) )
187186mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `
 s )  x.  ( K `  s
) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( U `  s
) ) )
188187oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
189185, 188eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  i
)  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if (
( V `  i
)  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  i ) ) )
190 limcresi 22840 . . . . . 6  |-  ( S lim
CC  ( Q `  i ) )  C_  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)
191147adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
192191, 64cnlimci 22844 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( S lim
CC  ( Q `  i ) ) )
193190, 192sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i ) ) )
194150, 172feqresmpt 5919 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) )
195194oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
)  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
196193, 195eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  i ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
197121, 122, 123, 146, 153, 189, 196mullimc 37696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  i )  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
19852, 54fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
199198adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  G : (
-u pi [,] pi )
--> RR )
200199, 172feqresmpt 5919 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( G `  s ) ) )
201145, 152remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  (
( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) )  e.  RR )
20254fvmpt2 5957 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  ( -u pi [,] pi )  /\  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
)  e.  RR )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `  s
)  x.  ( S `
 s ) ) )
203135, 201, 202syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  /\  s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  ->  ( G `  s )  =  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )
204203mpteq2dva 4489 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( G `  s ) )  =  ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) )
205200, 204eqtr2d 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `
 s )  x.  ( S `  s
) ) )  =  ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) )
206205oveq1d 6305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  i ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  i )
) )
207197, 206eleqtrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  i )  =  X ,  D ,  ( ( R  -  if ( ( V `  i )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 i ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  i ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  i ) ) )  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 i ) ) )
208 fourierdlem88.l . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  L  e.  ( ( F  |`  (
( V `  i
) (,) ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( V `
 ( i  +  1 ) ) ) )
209 fourierdlem88.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( I  |`  ( -oo (,) X ) ) lim CC  X ) )
210 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  if ( ( V `  (
i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if (
( V `  (
i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  =  if ( ( V `  (
i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if (
( V `  (
i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
21116, 7, 19, 15, 31, 40, 42, 2, 6, 208, 17, 1, 160, 161, 209, 210fourierdlem74 38044 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
212173oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( H  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
213211, 212eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y ) )  / 
( Q `  (
i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( H `  s ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
214 limcresi 22840 . . . . . . . 8  |-  ( K lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
215178, 67cnlimci 22844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( K lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
216214, 215sseldi 3430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
217182oveq1d 6305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( K  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
218216, 217eleqtrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( K `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( K `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
219154, 155, 156, 157, 158, 213, 218mullimc 37696 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  (
i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if (
( V `  (
i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
220187oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( H `  s )  x.  ( K `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( U `  s ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
221219, 220eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( if ( ( V `  (
i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if (
( V `  (
i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y )
)  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( U `
 s ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
222 limcresi 22840 . . . . . 6  |-  ( S lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  C_  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
223191, 67cnlimci 22844 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( S lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
224222, 223sseldi 3430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
225194oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
226224, 225eleqtrd 2531 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  |->  ( S `  s ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
227121, 122, 123, 146, 153, 221, 226mullimc 37696 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( s  e.  ( ( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) 
|->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s )
) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
228205oveq1d 6305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( s  e.  ( ( Q `
 i ) (,) ( Q `  (
i  +  1 ) ) )  |->  ( ( U `  s )  x.  ( S `  s ) ) ) lim
CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( G  |`  ( ( Q `  i ) (,) ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )
229227, 228eleqtrd 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  =  X ,  C ,  ( ( L  -  if ( ( V `  ( i  +  1 ) )  <  X ,  W ,  Y ) )  /  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( K `
 ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  x.  ( S `  ( Q `  ( i  +  1 ) ) ) )  e.  ( ( G  |`  (
( Q `  i
) (,) ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) ) lim CC  ( Q `
 ( i  +  1 ) ) ) )
2301, 2, 18, 55, 120, 207, 229fourierdlem69 38039 1  |-  ( ph  ->  G  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    < clt 9675    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   sincsin 14116   picpi 14119   TopOpenctopn 15320  ℂfldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908   L^1cibl 22575   lim CC climc 22817    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822
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