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Theorem dvcnvlem 22112
Description: Lemma for dvcnvre 22155. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
dvcnv.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
2 f1of 5814 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
4 dvcnv.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
53, 4ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
6 dvcnv.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  S )
7 dvcnv.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtopon 21025 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 dvcnv.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
10 recnprss 22043 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 resttopon 19428 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
138, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
146, 13syl5eqel 2559 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
15 topontop 19194 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  K  e.  Top )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
17 dvcnv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
18 isopn3i 19349 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  Y  e.  K )  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
205, 19eleqtrrd 2558 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( int `  K ) `
 Y ) )
21 f1ocnv 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
22 f1of 5814 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
231, 21, 223syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
24 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
25 ffvelrn 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( `' F `  z )  e.  X
)
2623, 24, 25syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( `' F `  z )  e.  X
)
2726anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
28 eldifsn 4152 . . . . . 6  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
3029anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
31 eldifi 3626 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  e.  X )
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
33 dvbsss 22041 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
3432, 33syl6eqssr 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
3534, 11sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3635sselda 3504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  CC )
3731, 36sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  CC )
3834, 4sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
3911, 38sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
4137, 40subcld 9926 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
42 toponss 19197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
4314, 17, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
4443, 11sstrd 3514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
45 fss 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> Y  /\  Y  C_  CC )  ->  F : X --> CC )
463, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
47 ffvelrn 6017 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> CC  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
4846, 31, 47syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  y
)  e.  CC )
4944, 5sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
5148, 50subcld 9926 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
52 eldifsni 4153 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  =/=  C )
5352adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  =/=  C )
5448, 50subeq0ad 9936 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
55 f1of1 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
561, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-> Y
)
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
5831adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  X )
594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
60 f1fveq 6156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( y  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 C )  <->  y  =  C ) )
6157, 58, 59, 60syl12anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  C )  <-> 
y  =  C ) )
6254, 61bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  y  =  C ) )
6362necon3bid 2725 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
6453, 63mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  =/=  0 )
6541, 51, 64divcld 10316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  /  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  CC )
66 limcresi 22024 . . . . . 6  |-  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) lim CC  ( F `
 C ) )
6723feqmptd 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) ) )
6867reseq1d 5270 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) )
69 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  C_  Y
70 resmpt 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  \  { ( F `  C ) } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( `' F `  z ) )
7268, 71syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7372oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |`  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) ) lim
CC  ( F `  C ) )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `
 C ) ) )
7466, 73syl5sseq 3552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F lim CC  ( F `  C ) )  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
75 f1ocnvfv1 6168 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
761, 4, 75syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
77 dvcnv.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
7877, 5cnlimci 22028 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
7976, 78eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8074, 79sseldd 3505 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
8146, 35, 4dvlem 22035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  CC )
8237, 40, 53subne0d 9935 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  =/=  0 )
8351, 41, 64, 82divne0d 10332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 )
84 eldifsn 4152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  e.  CC  /\  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 ) )
8581, 83, 84sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
86 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )
8785, 86fmptd 6043 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> ( CC  \  { 0 } ) )
88 difss 3631 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
90 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
914, 32eleqtrrd 2558 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
92 dvfg 22045 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
93 ffun 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
94 funfvbrb 5992 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
959, 92, 93, 944syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
9691, 95mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
976, 7, 86, 11, 46, 34eldv 22037 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )  <->  ( C  e.  ( ( int `  K ) `
 X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
9896, 97mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  K
) `  X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) )
9998simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
100 resttopon 19428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1018, 88, 100mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) )
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1038a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
104 1cnd 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
105102, 103, 104cnmptc 19898 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  1 )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
106102cnmptid 19897 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1077, 90divcn 21107 . . . . . . . . 9  |-  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J
)
108107a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J ) )
109102, 105, 106, 108cnmpt12f 19902 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
1109, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
11132feq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
112110, 111mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
113112, 4ffvelrnd 6020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
114 ffn 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
115110, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
116 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C )  e.  ran  ( S  _D  F
) )
117115, 91, 116syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F ) )
118 dvcnv.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
119 nelne2 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F )  /\  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )  ->  (
( S  _D  F
) `  C )  =/=  0 )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  =/=  0 )
121 eldifsn 4152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( S  _D  F
) `  C )  e.  CC  /\  ( ( S  _D  F ) `
 C )  =/=  0 ) )
122113, 120, 121sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
123101toponunii 19200 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  U. ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
124123cncnpi 19545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J )  /\  (
( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  CnP  J ) `
 ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
125109, 122, 124syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  {
0 } ) )  CnP  J ) `  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
12687, 89, 7, 90, 99, 125limccnp 22030 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  e.  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
127 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( S  _D  F ) `  C )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
128 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
129 ovex 6307 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) )  e. 
_V
130127, 128, 129fvmpt 5948 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
131122, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
132 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
133 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
134 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
13585, 132, 133, 134fmptco 6052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) )
13651, 41, 64, 82recdivd 10333 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( 1  /  (
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) )
137136mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( 1  /  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) )
138135, 137eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) )
139138oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  o.  (
y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
140126, 131, 1393eltr3d 2569 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
141 oveq1 6289 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  -  C )  =  ( ( `' F `  z )  -  C ) )
142 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
143142oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  z ) )  -  ( F `  C ) ) )
144141, 143oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  -  C
)  /  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )
145 eldifsni 4153 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  =/=  ( F `  C )
)
146145adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  =/=  ( F `
 C ) )
147146necomd 2738 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  C
)  =/=  z )
1481adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
1494adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  e.  X )
15024adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  e.  Y )
151 f1ocnvfvb 6171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
152148, 149, 150, 151syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
153152necon3abid 2713 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =/=  z  <->  -.  ( `' F `  z )  =  C ) )
154147, 153mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  -.  ( `' F `  z )  =  C )
155154pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  =  C  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) ) )
156155impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =  C ) )  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
15730, 65, 80, 140, 144, 156limcco 22032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
) )
15876eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  =  ( `' F `  ( F `  C ) ) )
160159oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  -  C
)  =  ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) ) )
161 f1ocnvfv2 6169 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
1621, 24, 161syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
163162oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) )  =  ( z  -  ( F `  C ) ) )
164160, 163oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
165164mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) )
166165oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
167157, 166eleqtrd 2557 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
168 eqid 2467 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
169 fss 5737 . . . 4  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
17023, 35, 169syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
1716, 7, 168, 11, 170, 43eldv 22037 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  <->  ( ( F `
 C )  e.  ( ( int `  K
) `  Y )  /\  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) ) ) )
17220, 167, 171mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801    / cdiv 10202   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673  ℂfldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   intcnt 19284    Cn ccn 19491    CnP ccnp 19492    tX ctx 19796   -cn->ccncf 21115   lim CC climc 22001    _D cdv 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006
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