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Theorem dvcnvlem 21451
Description: Lemma for dvcnvre 21494. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
dvcnv.k  |-  K  =  ( Jt  S )
dvcnv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvcnv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
dvcnv.f  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
dvcnv.i  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
dvcnv.d  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
dvcnv.z  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
dvcnv.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
2 f1of 5644 . . . . 5  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
4 dvcnv.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
53, 4ffvelrnd 5847 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  Y )
6 dvcnv.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  S )
7 dvcnv.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
87cnfldtopon 20365 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 dvcnv.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
10 recnprss 21382 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
12 resttopon 18768 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
138, 11, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
146, 13syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
15 topontop 18534 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  K  e.  Top )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
17 dvcnv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
18 isopn3i 18689 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  Y  e.  K )  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( int `  K
) `  Y )  =  Y )
205, 19eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( int `  K ) `
 Y ) )
21 f1ocnv 5656 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
22 f1of 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
231, 21, 223syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> X )
24 eldifi 3481 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  e.  Y
)
25 ffvelrn 5844 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  z  e.  Y )  ->  ( `' F `  z )  e.  X
)
2623, 24, 25syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( `' F `  z )  e.  X
)
2726anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
28 eldifsn 4003 . . . . . 6  |-  ( ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } )  <->  ( ( `' F `  z )  e.  X  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C
)  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
3029anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =/=  C ) )  ->  ( `' F `  z )  e.  ( X  \  { C } ) )
31 eldifi 3481 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  e.  X )
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  =  X )
33 dvbsss 21380 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  F )  C_  S
3432, 33syl6eqssr 3410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
3534, 11sstrd 3369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
3635sselda 3359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  CC )
3731, 36sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  CC )
3834, 4sseldd 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  S )
3911, 38sseldd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  CC )
4137, 40subcld 9722 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  e.  CC )
42 toponss 18537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  S )  /\  Y  e.  K )  ->  Y  C_  S )
4314, 17, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  C_  S )
4443, 11sstrd 3369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  CC )
45 fss 5570 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> Y  /\  Y  C_  CC )  ->  F : X --> CC )
463, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
47 ffvelrn 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> CC  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
4846, 31, 47syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  y
)  e.  CC )
4944, 5sseldd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5049adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
5148, 50subcld 9722 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  e.  CC )
52 eldifsni 4004 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  -> 
y  =/=  C )
5352adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  =/=  C )
5448, 50subeq0ad 9732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  ( F `  y )  =  ( F `  C ) ) )
55 f1of1 5643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
561, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : X -1-1-> Y
)
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
5831adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
y  e.  X )
594adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  ->  C  e.  X )
60 f1fveq 5978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( y  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 C )  <->  y  =  C ) )
6157, 58, 59, 60syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  =  ( F `  C )  <-> 
y  =  C ) )
6254, 61bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =  0  <->  y  =  C ) )
6362necon3bid 2646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  =/=  0  <->  y  =/=  C ) )
6453, 63mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  =/=  0 )
6541, 51, 64divcld 10110 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( y  -  C )  /  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  CC )
66 limcresi 21363 . . . . . 6  |-  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) 
C_  ( ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) lim CC  ( F `
 C ) )
6723feqmptd 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) ) )
6867reseq1d 5112 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) ) )
69 difss 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  C_  Y
70 resmpt 5159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  \  { ( F `  C ) } )  C_  Y  ->  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Y  |->  ( `' F `  z ) )  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( `' F `  z ) )
7268, 71syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F  |`  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) )
7372oveq1d 6109 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( `' F  |`  ( Y  \  {
( F `  C
) } ) ) lim
CC  ( F `  C ) )  =  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `
 C ) ) )
7466, 73syl5sseq 3407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F lim CC  ( F `  C ) )  C_  ( (
z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
75 f1ocnvfv1 5986 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
761, 4, 75syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
77 dvcnv.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' F  e.  ( Y -cn-> X ) )
7877, 5cnlimci 21367 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
7976, 78eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( `' F lim CC  ( F `
 C ) ) )
8074, 79sseldd 3360 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( `' F `  z ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
8146, 35, 4dvlem 21374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  CC )
8237, 40, 53subne0d 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( y  -  C
)  =/=  0 )
8351, 41, 64, 82divne0d 10126 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 )
84 eldifsn 4003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  e.  CC  /\  ( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  =/=  0 ) )
8581, 83, 84sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
86 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )
8785, 86fmptd 5870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) : ( X  \  { C } ) --> ( CC  \  { 0 } ) )
88 difss 3486 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  { 0 } )  C_  CC
8988a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  C_  CC )
90 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
914, 32eleqtrrd 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )
92 dvfg 21384 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
93 ffun 5564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  F ) )
94 funfvbrb 5819 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F )  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )
) )
959, 92, 93, 944syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  e.  dom  ( S  _D  F
)  <->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) ) )
9691, 95mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F ) `
 C ) )
976, 7, 86, 11, 46, 34eldv 21376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ( S  _D  F ) ( ( S  _D  F
) `  C )  <->  ( C  e.  ( ( int `  K ) `
 X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) ) )
9896, 97mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( int `  K
) `  X )  /\  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) ) )
9998simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
100 resttopon 18768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1018, 88, 100mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) )
102101a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  e.  (TopOn `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
1038a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
104 1cnd 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
105102, 103, 104cnmptc 19238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  1 )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
106102cnmptid 19237 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  x )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
1077, 90divcn 20447 . . . . . . . . 9  |-  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J
)
108107a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  /  e.  ( ( J  tX  ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) ) )  Cn  J ) )
109102, 105, 106, 108cnmpt12f 19242 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J ) )
1109, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
11132feq2d 5550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC  <->  ( S  _D  F ) : X --> CC ) )
112110, 111mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : X --> CC )
113112, 4ffvelrnd 5847 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  CC )
114 ffn 5562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC 
->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
115110, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
116 fnfvelrn 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  C  e.  dom  ( S  _D  F ) )  ->  ( ( S  _D  F ) `  C )  e.  ran  ( S  _D  F
) )
117115, 91, 116syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F ) )
118 dvcnv.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )
119 nelne2 2705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ran  ( S  _D  F )  /\  -.  0  e.  ran  ( S  _D  F
) )  ->  (
( S  _D  F
) `  C )  =/=  0 )
120117, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  =/=  0 )
121 eldifsn 4003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( S  _D  F
) `  C )  e.  CC  /\  ( ( S  _D  F ) `
 C )  =/=  0 ) )
122113, 120, 121sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  F ) `  C
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
123101toponunii 18540 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  U. ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )
124123cncnpi 18885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  Cn  J )  /\  (
( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  { 0 } ) )  CnP  J ) `
 ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
125109, 122, 124syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  e.  ( ( ( Jt  ( CC  \  {
0 } ) )  CnP  J ) `  ( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
12687, 89, 7, 90, 99, 125limccnp 21369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  e.  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
127 oveq2 6102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( S  _D  F ) `  C )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
128 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )
129 ovex 6119 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) )  e. 
_V
130127, 128, 129fvmpt 5777 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  _D  F
) `  C )  e.  ( CC  \  {
0 } )  -> 
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
131122, 130syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) `  ( ( S  _D  F ) `
 C ) )  =  ( 1  / 
( ( S  _D  F ) `  C
) ) )
132 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
133 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) ) )
134 oveq2 6102 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) )  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) )
13585, 132, 133, 134fmptco 5879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( 1  / 
( ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) )  /  ( y  -  C ) ) ) ) )
13651, 41, 64, 82recdivd 10127 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  \  { C } ) )  -> 
( 1  /  (
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) )  =  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) )
137136mpteq2dva 4381 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( 1  /  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) )  =  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) )
138135, 137eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( 1  /  x ) )  o.  ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
)  /  ( y  -  C ) ) ) )  =  ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) )
139138oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( 1  /  x
) )  o.  (
y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) )  / 
( y  -  C
) ) ) ) lim
CC  C )  =  ( ( y  e.  ( X  \  { C } )  |->  ( ( y  -  C )  /  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) ) ) lim CC  C ) )
140126, 131, 1393eltr3d 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( y  e.  ( X 
\  { C }
)  |->  ( ( y  -  C )  / 
( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  C ) )
141 oveq1 6101 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
y  -  C )  =  ( ( `' F `  z )  -  C ) )
142 fveq2 5694 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
143142oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 ( `' F `  z ) )  -  ( F `  C ) ) )
144141, 143oveq12d 6112 . . . 4  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( y  -  C
)  /  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )
145 eldifsni 4004 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  ->  z  =/=  ( F `  C )
)
146145adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  =/=  ( F `
 C ) )
147146necomd 2698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  C
)  =/=  z )
1481adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
1494adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  e.  X )
15024adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
z  e.  Y )
151 f1ocnvfvb 5989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  C  e.  X  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
152148, 149, 150, 151syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =  z  <-> 
( `' F `  z )  =  C ) )
153152necon3abid 2644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  C )  =/=  z  <->  -.  ( `' F `  z )  =  C ) )
154147, 153mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  -.  ( `' F `  z )  =  C )
155154pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  =  C  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) ) )
156155impr 619 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  /\  ( `' F `  z )  =  C ) )  ->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
15730, 65, 80, 140, 144, 156limcco 21371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
) )
15876eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  ->  C  =  ( `' F `  ( F `  C ) ) )
160159oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( `' F `  z )  -  C
)  =  ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) ) )
161 f1ocnvfv2 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
1621, 24, 161syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
163162oveq1d 6109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) )  =  ( z  -  ( F `  C ) ) )
164160, 163oveq12d 6112 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) )  -> 
( ( ( `' F `  z )  -  C )  / 
( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) )  =  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
165164mpteq2dva 4381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) )  =  ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) )
166165oveq1d 6109 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( Y  \  {
( F `  C
) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  C
)  /  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  -  ( F `
 C ) ) ) ) lim CC  ( F `  C )
)  =  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
167157, 166eleqtrd 2519 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) )
168 eqid 2443 . . 3  |-  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } ) 
|->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) )  =  ( z  e.  ( Y  \  { ( F `  C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )  /  ( z  -  ( F `  C ) ) ) )
169 fss 5570 . . . 4  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  X  C_  CC )  ->  `' F : Y --> CC )
17023, 35, 169syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F : Y --> CC )
1716, 7, 168, 11, 170, 43eldv 21376 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  <->  ( ( F `
 C )  e.  ( ( int `  K
) `  Y )  /\  ( 1  /  (
( S  _D  F
) `  C )
)  e.  ( ( z  e.  ( Y 
\  { ( F `
 C ) } )  |->  ( ( ( `' F `  z )  -  ( `' F `  ( F `  C
) ) )  / 
( z  -  ( F `  C )
) ) ) lim CC  ( F `  C ) ) ) ) )
17220, 167, 171mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
) ( S  _D  `' F ) ( 1  /  ( ( S  _D  F ) `  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609    \ cdif 3328    C_ wss 3331   {csn 3880   {cpr 3882   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   `'ccnv 4842   dom cdm 4843   ran crn 4844    |` cres 4845    o. ccom 4847   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    - cmin 9598    / cdiv 9996   ↾t crest 14362   TopOpenctopn 14363  ℂfldccnfld 17821   Topctop 18501  TopOnctopon 18502   intcnt 18624    Cn ccn 18831    CnP ccnp 18832    tX ctx 19136   -cn->ccncf 20455   lim CC climc 21340    _D cdv 21341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-limc 21344  df-dv 21345
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