Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvcnvlem 23007
 Description: Lemma for dvcnvre 23050. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j fld
dvcnv.k t
dvcnv.s
dvcnv.y
dvcnv.f
dvcnv.i
dvcnv.d
dvcnv.z
dvcnv.c
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5
2 f1of 5828 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 dvcnv.c . . . 4
53, 4ffvelrnd 6038 . . 3
6 dvcnv.k . . . . . 6 t
7 dvcnv.j . . . . . . . 8 fld
87cnfldtopon 21881 . . . . . . 7 TopOn
9 dvcnv.s . . . . . . . 8
10 recnprss 22938 . . . . . . . 8
119, 10syl 17 . . . . . . 7
12 resttopon 20254 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
138, 11, 12sylancr 676 . . . . . 6 t TopOn
146, 13syl5eqel 2553 . . . . 5 TopOn
15 topontop 20018 . . . . 5 TopOn
1614, 15syl 17 . . . 4
17 dvcnv.y . . . 4
18 isopn3i 20175 . . . 4
1916, 17, 18syl2anc 673 . . 3
205, 19eleqtrrd 2552 . 2
21 f1ocnv 5840 . . . . . . . . 9
22 f1of 5828 . . . . . . . . 9
231, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8
24 eldifi 3544 . . . . . . . 8
25 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8
2623, 24, 25syl2an 485 . . . . . . 7
2726anim1i 578 . . . . . 6
28 eldifsn 4088 . . . . . 6
2927, 28sylibr 217 . . . . 5
3029anasss 659 . . . 4
31 eldifi 3544 . . . . . . 7
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10
33 dvbsss 22936 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl6eqssr 3469 . . . . . . . . 9
3534, 11sstrd 3428 . . . . . . . 8
3635sselda 3418 . . . . . . 7
3731, 36sylan2 482 . . . . . 6
3834, 4sseldd 3419 . . . . . . . 8
3911, 38sseldd 3419 . . . . . . 7
4039adantr 472 . . . . . 6
4137, 40subcld 10005 . . . . 5
42 toponss 20021 . . . . . . . . . 10 TopOn
4314, 17, 42syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4443, 11sstrd 3428 . . . . . . . 8
453, 44fssd 5750 . . . . . . 7
46 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
4745, 31, 46syl2an 485 . . . . . 6
4844, 5sseldd 3419 . . . . . . 7
4948adantr 472 . . . . . 6
5047, 49subcld 10005 . . . . 5
51 eldifsni 4089 . . . . . . 7
5251adantl 473 . . . . . 6
5347, 49subeq0ad 10015 . . . . . . . 8
54 f1of1 5827 . . . . . . . . . . 11
551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10
5655adantr 472 . . . . . . . . 9
5731adantl 473 . . . . . . . . 9
584adantr 472 . . . . . . . . 9
59 f1fveq 6181 . . . . . . . . 9
6056, 57, 58, 59syl12anc 1290 . . . . . . . 8
6153, 60bitrd 261 . . . . . . 7
6261necon3bid 2687 . . . . . 6
6352, 62mpbird 240 . . . . 5
6441, 50, 63divcld 10405 . . . 4
65 limcresi 22919 . . . . . 6 lim lim
6623feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
6766reseq1d 5110 . . . . . . . 8
68 difss 3549 . . . . . . . . 9
69 resmpt 5160 . . . . . . . . 9
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8
7167, 70syl6eq 2521 . . . . . . 7
7271oveq1d 6323 . . . . . 6 lim lim
7365, 72syl5sseq 3466 . . . . 5 lim lim
74 f1ocnvfv1 6193 . . . . . . 7
751, 4, 74syl2anc 673 . . . . . 6
76 dvcnv.i . . . . . . 7
7776, 5cnlimci 22923 . . . . . 6 lim
7875, 77eqeltrrd 2550 . . . . 5 lim
7973, 78sseldd 3419 . . . 4 lim
8045, 35, 4dvlem 22930 . . . . . . . 8
8137, 40, 52subne0d 10014 . . . . . . . . 9
8250, 41, 63, 81divne0d 10421 . . . . . . . 8
83 eldifsn 4088 . . . . . . . 8
8480, 82, 83sylanbrc 677 . . . . . . 7
85 eqid 2471 . . . . . . 7
8684, 85fmptd 6061 . . . . . 6
87 difss 3549 . . . . . . 7
8887a1i 11 . . . . . 6
89 eqid 2471 . . . . . 6 t t
904, 32eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
91 dvfg 22940 . . . . . . . . . 10
92 ffun 5742 . . . . . . . . . 10
93 funfvbrb 6010 . . . . . . . . . 10
949, 91, 92, 934syl 19 . . . . . . . . 9
9590, 94mpbid 215 . . . . . . . 8
966, 7, 85, 11, 45, 34eldv 22932 . . . . . . . 8 lim
9795, 96mpbid 215 . . . . . . 7 lim
9897simprd 470 . . . . . 6 lim
99 resttopon 20254 . . . . . . . . . 10 TopOn t TopOn
1008, 87, 99mp2an 686 . . . . . . . . 9 t TopOn
101100a1i 11 . . . . . . . 8 t TopOn
1028a1i 11 . . . . . . . . 9 TopOn
103 1cnd 9677 . . . . . . . . 9
104101, 102, 103cnmptc 20754 . . . . . . . 8 t
105101cnmptid 20753 . . . . . . . 8 t t
1067, 89divcn 21978 . . . . . . . . 9 t
107106a1i 11 . . . . . . . 8 t
108101, 104, 105, 107cnmpt12f 20758 . . . . . . 7 t
1099, 91syl 17 . . . . . . . . . 10
11032feq2d 5725 . . . . . . . . . 10
111109, 110mpbid 215 . . . . . . . . 9
112111, 4ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
113 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . 10
115 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . 10
116114, 90, 115syl2anc 673 . . . . . . . . 9
117 dvcnv.z . . . . . . . . 9
118 nelne2 2740 . . . . . . . . 9
119116, 117, 118syl2anc 673 . . . . . . . 8
120 eldifsn 4088 . . . . . . . 8
121112, 119, 120sylanbrc 677 . . . . . . 7
122100toponunii 20024 . . . . . . . 8 t
123122cncnpi 20371 . . . . . . 7 t t
124108, 121, 123syl2anc 673 . . . . . 6 t
12586, 88, 7, 89, 98, 124limccnp 22925 . . . . 5 lim
126 oveq2 6316 . . . . . . 7
127 eqid 2471 . . . . . . 7
128 ovex 6336 . . . . . . 7
129126, 127, 128fvmpt 5963 . . . . . 6
130121, 129syl 17 . . . . 5
131 eqidd 2472 . . . . . . . 8
132 eqidd 2472 . . . . . . . 8
133 oveq2 6316 . . . . . . . 8
13484, 131, 132, 133fmptco 6072 . . . . . . 7
13550, 41, 63, 81recdivd 10422 . . . . . . . 8
136135mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
137134, 136eqtrd 2505 . . . . . 6
138137oveq1d 6323 . . . . 5 lim lim
139125, 130, 1383eltr3d 2563 . . . 4 lim
140 oveq1 6315 . . . . 5
141 fveq2 5879 . . . . . 6
142141oveq1d 6323 . . . . 5
143140, 142oveq12d 6326 . . . 4
144 eldifsni 4089 . . . . . . . . 9
145144adantl 473 . . . . . . . 8
146145necomd 2698 . . . . . . 7
1471adantr 472 . . . . . . . . 9
1484adantr 472 . . . . . . . . 9
14924adantl 473 . . . . . . . . 9
150 f1ocnvfvb 6196 . . . . . . . . 9
151147, 148, 149, 150syl3anc 1292 . . . . . . . 8
152151necon3abid 2679 . . . . . . 7
153146, 152mpbid 215 . . . . . 6
154153pm2.21d 109 . . . . 5
155154impr 631 . . . 4
15630, 64, 79, 139, 143, 155limcco 22927 . . 3 lim
15775eqcomd 2477 . . . . . . . 8
158157adantr 472 . . . . . . 7
159158oveq2d 6324 . . . . . 6
160 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . 8
1611, 24, 160syl2an 485 . . . . . . 7
162161oveq1d 6323 . . . . . 6
163159, 162oveq12d 6326 . . . . 5
164163mpteq2dva 4482 . . . 4
165164oveq1d 6323 . . 3 lim lim
166156, 165eleqtrd 2551 . 2 lim
167 eqid 2471 . . 3
16823, 35fssd 5750 . . 3
1696, 7, 167, 11, 168, 43eldv 22932 . 2 lim
17020, 166, 169mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cdif 3387   wss 3390  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841   ccom 4843   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wf1 5586  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   cmin 9880   cdiv 10291   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  ctop 19994  TopOnctopon 19995  cnt 20109   ccn 20317   ccnp 20318   ctx 20652  ccncf 21986   lim climc 22896   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  dvcnv  23008
 Copyright terms: Public domain W3C validator