MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Unicode version

Theorem limcco 22165
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
limcco.s  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
limcco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
limcco.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
limcco.1  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
limcco.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
Assertion
Ref Expression
limcco  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    X( x, y)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
21expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  =/=  C  ->  R  e.  B ) )
32necon1bd 2685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  =  C ) )
4 limccl 22147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) 
C_  CC
5 limcco.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
64, 5sseldi 3507 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8 elsnc2g 4063 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  CC  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
103, 9sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  e.  { C } ) )
1110orrd 378 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
12 elun 3650 . . . . 5  |-  ( R  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
1311, 12sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  ( B  u.  { C } ) )
14 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
1513, 14fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> ( B  u.  { C } ) )
16 limcco.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
17 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  ( y  e.  B  |->  S )
1816, 17fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC )
19 fdm 5741 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
21 limcco.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
22 limcrcl 22146 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim
CC  C )  -> 
( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2423simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  C_  CC )
2520, 24eqsstr3d 3544 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
266snssd 4178 . . . 4  |-  ( ph  ->  { C }  C_  CC )
2725, 26unssd 3685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  u.  { C } )  C_  CC )
28 eqid 2467 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
29 eqid 2467 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )
3025, 6, 16, 29, 28limcmpt 22155 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C
)  <->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
3121, 30mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
3215, 27, 28, 29, 5, 31limccnp 22163 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
) )
33 ssun2 3673 . . . 4  |-  { C }  C_  ( B  u.  { C } )
34 snssg 4166 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  X )  -> 
( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
355, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
3633, 35mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B  u.  { C }
) )
37 iftrue 3951 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  D )
38 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  =  ( y  e.  ( B  u.  { C }
)  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S ) )
3937, 38fvmptg 5955 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( B  u.  { C }
)  /\  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
4036, 21, 39syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
41 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
42 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  =  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) ) )
43 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  (
y  =  C  <->  R  =  C ) )
44 limcco.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
4543, 44ifbieq2d 3970 . . . . 5  |-  ( y  =  R  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  if ( R  =  C ,  D ,  T )
)
4613, 41, 42, 45fmptco 6065 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T )
) )
47 ifid 3982 . . . . . 6  |-  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  T
48 limcco.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
4948anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  R  =  C )  ->  T  =  D )
5049ifeq1da 3975 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )
5147, 50syl5reqr 2523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  D ,  T )  =  T )
5251mpteq2dva 4539 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5346, 52eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5453oveq1d 6310 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
)  =  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
5532, 40, 543eltr3d 2569 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3479    C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694  ℂfldccnfld 18290    CnP ccnp 19594   lim CC climc 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-rest 14695  df-topn 14696  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cnp 19597  df-xms 20691  df-ms 20692  df-limc 22138
This theorem is referenced by:  dvcobr  22217  dvcnvlem  22245  lhop2  22284  fourierdlem60  31790  fourierdlem61  31791  fourierdlem62  31792  fourierdlem73  31803  fourierdlem76  31806
  Copyright terms: Public domain W3C validator