MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcco Structured version   Unicode version

Theorem limcco 21373
Description: Composition of two limits. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcco.r  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
limcco.s  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
limcco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
limcco.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
limcco.1  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
limcco.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
Assertion
Ref Expression
limcco  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    x, C, y    x, D, y    ph, x, y    y, R    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    X( x, y)

Proof of Theorem limcco
StepHypRef Expression
1 limcco.r . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =/= 
C ) )  ->  R  e.  B )
21expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  =/=  C  ->  R  e.  B ) )
32necon1bd 2684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  =  C ) )
4 limccl 21355 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) 
C_  CC
5 limcco.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim CC  X ) )
64, 5sseldi 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
76adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8 elsnc2g 3912 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  CC  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  { C } 
<->  R  =  C ) )
103, 9sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  R  e.  B  ->  R  e.  { C } ) )
1110orrd 378 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
12 elun 3502 . . . . 5  |-  ( R  e.  ( B  u.  { C } )  <->  ( R  e.  B  \/  R  e.  { C } ) )
1311, 12sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  ( B  u.  { C } ) )
14 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
1513, 14fmptd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> ( B  u.  { C } ) )
16 limcco.s . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  S  e.  CC )
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  ( y  e.  B  |->  S )
1816, 17fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC )
19 fdm 5568 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  |->  S ) : B --> CC  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  =  B )
21 limcco.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )
22 limcrcl 21354 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim
CC  C )  -> 
( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  B  |->  S ) : dom  ( y  e.  B  |->  S ) --> CC 
/\  dom  ( y  e.  B  |->  S ) 
C_  CC  /\  C  e.  CC ) )
2423simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  B  |->  S )  C_  CC )
2520, 24eqsstr3d 3396 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
266snssd 4023 . . . 4  |-  ( ph  ->  { C }  C_  CC )
2725, 26unssd 3537 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  u.  { C } )  C_  CC )
28 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
29 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )
3025, 6, 16, 29, 28limcmpt 21363 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C
)  <->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) ) )
3121, 30mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( B  u.  { C } ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  C
) )
3215, 27, 28, 29, 5, 31limccnp 21371 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  e.  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
) )
33 ssun2 3525 . . . 4  |-  { C }  C_  ( B  u.  { C } )
34 snssg 4012 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( ( x  e.  A  |->  R ) lim
CC  X )  -> 
( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
355, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( B  u.  { C } )  <->  { C }  C_  ( B  u.  { C } ) ) )
3633, 35mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( B  u.  { C }
) )
37 iftrue 3802 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  D )
38 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  =  ( y  e.  ( B  u.  { C }
)  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S ) )
3937, 38fvmptg 5777 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( B  u.  { C }
)  /\  D  e.  ( ( y  e.  B  |->  S ) lim CC  C ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
4036, 21, 39syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
) `  C )  =  D )
41 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
42 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  =  ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) ) )
43 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  (
y  =  C  <->  R  =  C ) )
44 limcco.1 . . . . . 6  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
4543, 44ifbieq2d 3819 . . . . 5  |-  ( y  =  R  ->  if ( y  =  C ,  D ,  S
)  =  if ( R  =  C ,  D ,  T )
)
4613, 41, 42, 45fmptco 5881 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T )
) )
47 ifid 3831 . . . . . 6  |-  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  T
48 limcco.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  R  =  C ) )  ->  T  =  D )
4948anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  R  =  C )  ->  T  =  D )
5049ifeq1da 3824 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  T ,  T )  =  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )
5147, 50syl5reqr 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( R  =  C ,  D ,  T )  =  T )
5251mpteq2dva 4383 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( R  =  C ,  D ,  T ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5346, 52eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S )
)  o.  ( x  e.  A  |->  R ) )  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
5453oveq1d 6111 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  ( B  u.  { C } )  |->  if ( y  =  C ,  D ,  S
) )  o.  (
x  e.  A  |->  R ) ) lim CC  X
)  =  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
5532, 40, 543eltr3d 2523 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ( x  e.  A  |->  T ) lim CC  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    u. cun 3331    C_ wss 3333   ifcif 3796   {csn 3882    e. cmpt 4355   dom cdm 4845    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365  ℂfldccnfld 17823    CnP ccnp 18834   lim CC climc 21342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cnp 18837  df-xms 19900  df-ms 19901  df-limc 21346
This theorem is referenced by:  dvcobr  21425  dvcnvlem  21453  lhop2  21492
  Copyright terms: Public domain W3C validator