Theorem itg2i1fseq2 23329

Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 23328, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching 𝐹, then ∫₂𝐹 is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2i1fseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2i1fseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2i1fseq.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2i1fseq.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2i1fseq.6	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
itg2i1fseq2.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
itg2i1fseq2.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑃,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚   𝑆,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem itg2i1fseq2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		itg2i1fseq.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
4	3	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
5		itg1cl 23258	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
7		itg2i1fseq.6	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
8	6, 7	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆:ℕ⟶ℝ)
9	3	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1)
10		peano2nn 10909	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
11		ffvelrn 6265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
12	3, 10, 11	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1)
13		itg2i1fseq.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
14		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
15	14	ralimi 2936	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)))
17		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
18		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
19	18	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
20	17, 19	breq12d 4596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
21	20	rspccva 3281	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
22	16, 21	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
23		itg1le 23286	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑘) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
24	9, 12, 22, 23	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
25		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑘))
26	25	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
27		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ∈ V
28	26, 7, 27	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑘) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
29	28	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) = (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
30		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
31	30	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
32		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))) ∈ V
33	31, 7, 32	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
34	10, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘(𝑘 + 1)) = (∫1‘(𝑃‘(𝑘 + 1))))
36	24, 29, 35	3brtr4d 4615	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ≤ (𝑆‘(𝑘 + 1)))
37		itg2i1fseq2.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
38		itg2i1fseq2.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) ≤ 𝑀)
39	29, 38	eqbrtrd 4605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀)
40	39	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀)
41		breq2 4587	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑀 → ((𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀))
42	41	ralbidv 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑀 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀))
43	42	rspcev 3282	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑀) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧)
44	37, 40, 43	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧)
45	1, 2, 8, 36, 44	climsup 14248	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
46		itg2i1fseq.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
47		itg2i1fseq.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
48		itg2i1fseq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
49	46, 47, 3, 13, 48, 7	itg2i1fseq 23328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
50		frn 5966	. . . . 5 ⊢ (𝑆:ℕ⟶ℝ → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
51	8, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ⊆ ℝ)
52	7, 6	dmmptd 5937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = ℕ)
53		1nn 10908	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
54		ne0i 3880	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
55	53, 54	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
56	52, 55	eqnetrd 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 ≠ ∅)
57		dm0rn0 5263	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑆 = ∅ ↔ ran 𝑆 = ∅)
58	57	necon3bii 2834	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 ≠ ∅ ↔ ran 𝑆 ≠ ∅)
59	56, 58	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 ≠ ∅)
60		ffn 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆:ℕ⟶ℝ → 𝑆 Fn ℕ)
61		breq1 4586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑆‘𝑘) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
62	61	ralrn 6270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 Fn ℕ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
63	8, 60, 62	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
64	63	rexbidv 3034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑆‘𝑘) ≤ 𝑧))
65	44, 64	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧)
66		supxrre 12029	. . . 4 ⊢ ((ran 𝑆 ⊆ ℝ ∧ ran 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
67	51, 59, 65, 66	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
68	49, 67	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) = sup(ran 𝑆, ℝ, < ))
69	45, 68	breqtrrd 4611	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (∫2‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑟 cofr 6794  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048   ⇝ cli 14063  MblFncmbf 23189  ∫₁citg1 23190  ∫₂citg2 23191  0_𝑝c0p 23242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  23330  itg2addlem  23331