Theorem limcmptdm 38702

Description: The domain of a map-to function with a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmptdm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
limcmptdm.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmptdm.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
limcmptdm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem limcmptdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmptdm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		limcmptdm.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	dmmptd 5937	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
4		limcmptdm.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷))
5		limcrcl 23444	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐷) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
7	6	simp2d 1067	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
8	3, 7	eqsstr3d 3603	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   lim_ℂ climc 23432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pm 7747  df-limc 23436

This theorem is referenced by:  neglimc  38714  addlimc  38715  0ellimcdiv  38716  reclimc  38720